立體幾何中求體積問題的通法研究

李旭

【摘要】本文主要結合案例解析一下關于立體幾何中求體積問題的幾種方法，試圖探索求空間幾何體的體積問題的通法.

【關鍵詞】體積；通法；割補法

數學解題通法是解決一類問題時可以采用的共同方法，高考在立體幾何知識的考查中，常常涉及求空間幾何體的體積問題，對這類問題求解方法較多，現結合案例解析一下關于立體幾何中求體積問題的幾種方法.

案例如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（）.

A.92

B.5

C.6

D.152

（一）分割法

根據該幾何體自身不是常規柱、錐、臺體的現象，考慮使用分割的辦法將這個多面體分割成常規幾何體.結合已知條件，考慮利用EF∥AB，及EF與面AC的距離為2，連接EB，EC，那么多面體ABCDEF就轉化成了四棱錐E-ABCD和三棱錐F-EBC的組合體.再通過適當轉化即可求出體積了.

如圖，連接EB，EC，則四棱錐E-ABCD體積VE-ABCD=13×32×2=6.

∵AB=2EF，EF∥AB，

∴S△EAB=2S△BEF，

∴VF-EBC=VC-EBF=12VC-ABE=12VE-ABC

=12×12VE-ABCD=32，

∴V=VE-ABCD+VF-EBC=6+32=152.

注：當然，分割多面體ABCDEF的方式不止這一種，僅利用這個方式說明可以使用分割法求幾何體體積.大家不妨嘗試一下，還可以怎樣分割呢？

事實上，根據剛才方法一的前半段計算，再結合這個題目是選擇題，可以使用下面的估算法.

（二）估算法

由方法（一），該多面體體積一定大于6，根據選項，只能選D.

有了方法一的引導，在分割多面體ABCDEF為常規幾何體的過程中，還可以嘗試下面的分割方法.

（三）分割法

設G，H分別為AB，CD的中點，連接EG，GH，EH，則EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC，得棱柱EGH-FBC.

由題意得，VE-AGHD=13SAGHD×2=13×3×3×12×2=3，

VEGH-FBC=3VB-EGH=3VE-BGH=3×12VE-GBCH

=32VE-AGHD=32×3=92.

∴V=VE-AGHD+VEGH-FBC=3+92=152.

除了對幾何體進行分割外，還可以嘗試將這個不規則幾何體補成規則幾何體，比如，下面這個方法.

（四）補形法

延長EF至G，使FG=AB=3，連接AG，DG，EC，EB，則多面體BCF-ADG為斜三棱柱，其直截面面積

S=12×2×3=3，則

VBCF-ADG=S·AB=9.

又∵面BCF∥面ADG，E為FG中點，

∴2VE-ADG+VE-ABCD=VBCF-ADG，

即2VE-ADG=9-13×3×3×2=3，

∴VE-ADG=32，

∴V=VBCF-ADG-VE-ADG=9-32=152.

通法具有發展性、概括性和多樣性，本題是一道非典型多面體，主要考查對圖形的分解、組合與變形的能力，是一道考查創新意識的有效題型；求解有關體積問題時，可以參考一下策略：① 等體積變換；② 分割求和；③ 補體（補形）；④ 還臺為錐.此題還可以使用估算法或特殊化法.

【參考文獻】

[1]羅增儒.中學數學解題的理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社，2009.

[2]秦德生.高考與大學自主招生數學考點大全與真題解析[M].長春：東北師范大學出版社，2014.