巧用數列模型解決銀行貸款問題

許惠芳

【摘要】分期付款在今天的生活中，應用日趨普遍，關于分期付款及其相關的知識觸及社會的方方面面，有銀行、購房、保險、基金等.可見，花明天的錢來圓今天的夢，已經是一種相當普遍的生活方式了.那么對于貸款的利息、還貸期限、還款金額等又是如何計算的？通過學習，使學生能夠了解銀行還款中的有關知識，能夠應用數學模型解決還款中的有關問題.

【關鍵詞】模型；分期；貸款；利息

數學家華羅庚曾說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日月之繁，無處不用數學.”這是對生活與數學關系的精彩描述.

當今，隨著人們生活水平的提高，大家的消費觀念也發生了轉變，分期付款、貸款購物已深入我們的生活中，不再生疏.分期付款方式在今天的商業活動中應用日趨廣泛，你可以貸款買房，貸款買車，貸款創業；助學貸款，旅游貸款，甚至還可以貸款買手機、電視、電腦等小物件.可見，花明天的錢來圓今天的夢，已經是一種相當普遍的生活方式了.那么對于貸款的利息、還貸期限、還款金額等又是如何計算的？筆者通過一節“等比數列應用舉例”（高等教育出版社出版的數學基礎模塊下冊第六章第三節課內容）中的一個實例研究一下分期付款中的有關計算，建立數列模型，從而解決實際問題.

一、經歷建模過程，感悟數學模型

（一）創設問題感悟模型

例：銀行貸款一般采用“復利計息法”計算利息.小王從銀行貸款20萬元，年利率為5.76%，

貸款期限為5年.

（1）如果要求5年后一次性還款，那么小王應償還銀行多少錢（精確到0.000 001萬元）？

（2）如果要求以每年為一期，共分5期等額本息還款（即每期以相等的額度平均償還本息），那么小王每年應償還銀行多少錢？

生1：什么是復利計息法？

師：復利計息法是指將前一期的本金與利息的和（也叫本利和）作為后一期的本金來計算利息的方法，俗稱“利滾利”.但民間借貸“利滾利”是不受法律保護的.

下面先一起來完成第（1）小題.

師：貸款第1年后的本利和是多少？

生2：20+20×5.76%=20（1+0.0 576）=20×1.0 576.

師：很好！第2年開始的本金是多少？

生3：20×1.0 576.

師：第2年后的本利和是多少？

生4：20×1.0 576+20×1.0 576×5.76%=20×10 5762.

師：請大家認真觀察第1年后和第2年后的本利和，并以此類推第3年后，第4年后，第5年后的本利和各是多少？

生5：20×1.0 5763，20×1.0 5764，20×1.0 5765.

師：回答得真棒！

師：觀察以上每年后的本利和，它們可以組成什么數列？

生6：等比數列.

師：其通項公式是什么？

生7：通項公式為20×1.0 576n.

師：那本小題的最后結果是什么？

生8：由以上可得5年后一次性還款時小王應償還銀行的款數為26.462 886（萬元）.

師：真棒！

師：下面請大家回顧一下在上學期學習的基礎模塊上冊第四章學習過的指數模型.

生9：y=c·ax.其中c>0為常數，底a>0且當a>1時，叫作指數增長模型；當0

師：若令上題中的c=20萬元，a=1+5.76%=1.0 576，x=5年，觀察對比指數模型與剛才一次性還款的式子之間有關聯嗎？

學生通過觀察對比驚喜地發現兩者的結果一樣.

師：對.若要算一次性還款數就可以用指數模型或等比數列通項公式模型進行計算.

師：其實在生活中應用較多的可能是分期付款還貸.分期付款還貸的模式基本有兩種：一種是等額本金還款.即將本金分別攤派到每個月內，同時，付清上一個交易日至本次還款日之間的利息；另一種是等額本息還款.即按月等額歸還貸款本息的方法.這種方法的優點是每個月還款的數額是固定的，借款人可以準確掌握每月的還款額，在消費收入固定的情況下，一般不會因為還款而感到過多壓力，便于生活資金的安排，因而，得到廣泛的應用.下面請一名同學上臺板演第（2）小題.

生10：設小王每次應償還銀行a萬元，則

第1次還款a萬元，已還款數為a（萬元）；

第2次還款a萬元，已還款數為a+a（1+5.76%）（萬元）；

第3次還款a萬元，已還款數為a+a（1+5.76%）+a（1+5.76%）2（萬元）；

第4次還款a萬元，已還款數為a+a（1+5.76%）+a（1+5.76%）2+a（1+5.76%）3（萬元）；

第5次還款a萬元，已還款數為a+a（1+5.76%）+a（1+5.76%）2+a（1+5.76%）3+a（1+5.76%）4（萬元）.

（此時學生卡在這，無法算出a.）

師：由于第5次將款還清，貸款總額本息=每期所還款本息的總和，所以為20×1.0 5765（萬元），a=4.716 971（萬元）.

師：以上這類問題為等額本息分期付款模型，若設貸款本金為A，等額本息還款中每期還款金額為a，還款期數為n，每期利率為i，則能否得出貸款本息分期付款中每期償還本息的公式？

生11：a=Ai（1+i）n（1+i）n-1.

師：真棒！本例中采用等額本息分期付款的方式總共應付銀行多少錢？

生12：4.716 975×5=23.5 849（萬元）.

師：對比一次性還款，哪種更省錢？省多少錢？

生：分期付款比到期一次性付款更省錢，節省了約2898萬元.

師：若上例中小王采用每月為一期的等額本息還款方式，則月利率和還款期數各為多少？

生13：月利率=年利率÷12=0.48%，還款期數為60.

師：很好！請大家利用上述的模型，算下小王每月需要還款的金額數.

生14：a=0.384 428（萬元）.

師：真棒！

（二）鞏固模型拓展延伸

問題1：小馬購買一個售價為5 600元的手機，先付2 600元，剩余的3 000元，采用分期付款的辦法，即購買后一個月第1次付款，再過一個月第2次付款，以此類推，需共付款6次后還清且每期付款數一樣，如果按月利率048%，每月利息按復利計算（上月利息要計入下月本金），那么每期應付款多少？（精確到0.1元）

思考1：小馬每次付款額會是3 000÷6=500（元）嗎？

生15：顯然不是，而會偏高.

師：那么分期付款總額就會高于手機售價，是什么引起的呢？

生16：利息.

思考2：小馬每次付款額會是3 000（1+0.48%）6÷6嗎？

生17：不是，而會偏低.

生18：由等額本息分期付款模型可得，每期應付款a=508.4（元）.

問題2：小李計劃采用等額本息分期付款的方式購買一臺售價為4 000元的筆記本電腦，年利率為5.76%，三年還清貸款，問每月需要付多少貸款？

生：由已知，月利率i=5.76%÷12=0.48%，還款期數n=3×12=36.

由等額本息分期付款模型可得，每月需要還款a=1213（元）.

問題3：某人想每月從自己的工資中拿出一筆固定的錢存入銀行，作為自己3年后的創業基金，共需8萬元，則他從現在起每月應存多少錢才能達到自己目標呢？

設計意圖：問題1和問題2是鞏固例題所學的內容，學以致用.問題3作為延伸題，不僅加深了學生對于數學建模過程的理解與掌握，而且讓其感受到了積跬步至千里的強大魅力，鼓勵我們職高學子應有屬于自己的目標并堅持不懈地努力，相信總有一天會有屬于自己的成功.

自2015年10月24日央行降息后，人民幣貸款基準利率執行標準為下表.

貸款期限年利率

六個月以內（含6個月）

貸款4.35

公積金2.75

六個月至一年（含1年）

貸款4.35

公積金2.75

一至三年（含3年）

貸款4.75

公積金2.75

三至五年（含5年）

貸款4.75

公積金2.75

五年以上貸款

貸款4.90

公積金3.25

師：隨著中央財政政策的積極推行，購置房地產按揭貸款（公積金貸款）制度的推出，極大地刺激了人們的消費欲望，而按揭貸款（公積金貸款）中都實行按月等額還本付息，這個等額數就可以應用今天所學習的等額本息分期付款模型進行解決.當然，如今銀行為方便客戶，一般都有詳細的按揭還款額的清單，若哪位同學家中有分期付款或將來可能會貸款的，可以用今天所學的知識對應進行校對或參考.

二、課后反思

分期付款在今天的生活中，應用日趨普遍，關于分期付款及其相關的知識觸及社會的方方面面，有銀行、購房、保險、基金等.本節課首先從貸款問題入手，從學生的生活實踐中提取問題背景，使問題更生活化，充分調動學生參與、探求的學習欲望.在例題中先理解“復利計息法”，將實際問題數學化，采用數列建模，通過逐年計算還款數來理解，這是學生容易接受的，數學具有“從具體情境上升為一般的概念和結論，又從一般返回到具體情形加以印證和應用”的特性.

通過本節課的學習，使學生能夠了解銀行還款中的有關知識，能夠應用數學模型解決還款中的有關問題，提高學生解決問題能力，同時，讓學生參與數學建模過程，應用模型解決實際問題，通過對方法的總結、歸納，讓學生感知、體驗模型思想的過程，從中感受生活中的數學模型，領會數學知識的運用.使學生在解決問題的過程中得到用數學、學數學的實際體驗，加深對知識的掌握和理解，感受到生活中處處都有數學，離不開數學，加強學生對數學學習的自信心.

雖然中職生的數學基礎普遍較為薄弱，數學興趣不濃，計算能力較弱，獨立分析、解決能力有限，但這節課內容學生感覺就是自己生活中的例子，與自己息息相關，多數學生都愿意積極參與，積極思考表現自我，本節課筆者的授課對象分別為機電和計算機網絡技術專業的學生，例題中的計算讓學生采用計算器進行運算，因此，在課堂上絕大部分學生的興趣都很高昂，整節課課堂氣氛活躍，還有個別學生用課堂上的還款模型算出自己家里的按揭月供，并回家和父母進行校對，讓學生經歷借、貸款問題的計算過程，體會數學的應用價值，形成對數學的興趣，培養學生處理數據技能和分析、解決問題的能力.

【參考文獻】

[1]李廣全，李尚志.數學基礎模塊·下冊·修訂版[M].北京：高等教育出版社，2013：17-19.