幾何畫板在圓錐曲線教學中的應用探索

徐水龍

現代化的計算機輔助教學手段與數學的整合，是提高課堂效率的有效方法.教師運用“幾何畫板”對教學活動進行創造性設計，發揮計算機輔助教學的特有功能，把信息技術和數學教學的學科特點結合起來，可以使教學的表現形式更加形象化、多樣化、視覺化，有利于充分揭示數學概念的形成與發展、數學思維的過程和實質，展示數學思維的形成過程，使數學課堂教學收到事半功倍的效果.

下面結合幾個圓錐曲線教學案例加以闡明：

一、幾何畫板與數學實驗相結合，通過實驗得出規律

數學中的概念、定理很多，而這些內容往往很抽象，學生學起來很枯燥，難以接受；運用計算機輔助教學手段，就能把這些抽象的概念形象化，便于學生理解，從而有效地克服教學難點，提高課堂效率.幾何畫板是數學教師最喜歡使用的教學軟件，它操作簡單，功能豐富，動感十足，能夠滿足數學教學中化抽象為形象直觀的要求.教學實踐中通過信息技術課的輔助教學，在學生初步掌握幾何畫板功能的基礎上，開展數學研究，通過學生自主建構知識，能夠有效地突破數學教學中的難點.以“橢圓的定義及其標準方程”一課為例.

在學習橢圓這一部分內容時，可以利用“幾何畫板”來演示橢圓的形成過程.在教學過程中，我們不妨在課堂上一步一步地直接給出該課件的制作過程.通過對這個過程的了解，學生可以非常容易地知道點M就是到定點F1、F2距離之和等于定長的點，當點p在圓上不停地運動的時候，點M的軌跡則正好就是橢圓.于是橢圓的形成過程就完整地展現在學生的面前，這對于他們的形象記憶是很有好處的.當然，為了更好地說明問題，我們可以測算出MF1，MF2以及二者的長度之和，這樣可以使學生非常方便地觀察出動點M在運動過程中其他的量與量之間的關系，從而對橢圓的形成過程有進一步的認識.

橢圓演示過程：拖動圓上的點p，可是MF1，MF2的長度之和始終不變.在幾何畫板中，橢圓的做法還有很多種，我們可以鼓勵學生在課下自己動手，試著用其他方法做出橢圓，以達到舉一反三的目的，這樣在接下來學習雙曲線、拋物線這一部內容的時候，就可以讓學生們自己動手來探索問題了.可見，只要選擇合理的教學手段，這些抽象的內容也會變得直觀生動，便于學生把握.

二、利用幾何畫板，真正實現數形結合

眾所周知，數形結合是一種很重要的數學思想，因此，多數教師都非常重視數形結合的教學，上課時盡量地畫好圖形，力求使圖形展現出其變化的趨勢.但是無論怎么畫，怎么用一個又一個的幻燈片給學生展示，也只能給出一個“死圖”，而利用計算機輔助教學，則可以繪制一幅幅有形有色會運動的“活”圖，真正實現數形結合，增大課堂容量，達到良好的教學效果.

橢圓與雙曲線的離心率就是一個明顯的例子.本來，“離心率”是刻畫橢圓與雙曲線形狀的一個數值，但利用傳統的教學手段很難說清這里“數”與“形”之間的內在聯系.對于一個確定的曲線橢圓（或雙曲線）一眼看去誰也無法說出離心率確切的數值；反之，在給定了離心率的數值后誰也無法在黑板上畫出與此對應的準確的圖形.借助于計算機技術，講授同一內容，能夠完全換一個講法.學生不是只能依靠“心靈”去理解教師傳授的知識，而是首先通過自己的觀察更主動地獲得上述知識.現在，一切都變得一目了然，難點化解了，教學時間大大節省了，既省力又省時.下圖是利用“幾何畫板”作的配合這段教學用的課件的界面.屏幕上的線段c與a的長度可以通過鼠標拖動M點加以改變，這時橢圓的形狀也隨之改變.這個動態的畫面比什么都有說服力，學生通過觀察自然能夠想到橢圓的形狀是能夠用c與a之比反映的，再利用“幾何畫板”的測量功能即時地測量出c與a的長度，計算出它們的準確的比值并顯示在屏幕上，由此可以方便地由定性到定量，把問題引向深入.用什么數值刻畫橢圓的形狀最適合呢？現在問題再清楚不過了！這里橢圓的離心率的概念的引出顯得那么必要與合理.需要指出，利用計算機輔助教學與傳統教學最大的差異是能夠利用計算機自由地進行實驗，既可以改變c與a的長度使離心率改變，也可以使c與a放大或縮小同樣的倍數使離心率不變.前者使學生看到離心率的大小與曲線形狀的內在聯系，什么時候橢圓顯得更“圓”，什么時候顯得更“扁”；后者則使學生看到離心率不變時，橢圓只是大小發生改變，而形狀卻不變.當把c的長度調整到比a大時，屏幕上的橢圓變成了雙曲線，可以利用實驗的方法研究離心率對雙曲線的形狀與漸近線的夾角的影響.如果沒有計算機以及“幾何畫板”這類智能型的教學軟件的支持，而是依靠傳統的粉筆與黑板，上述教學方法顯然是不能實現的.

幾何畫板作為一種輔助教學手段，如果與數學課程的資源有機地整合起來，對教師教學方式的改變、學生學習方式的改變、提高課堂教學效果，起到了有力的促進作用.

【參考文獻】

[1]魏清主編.中學有效教學策略研究[M].上海：上海三聯書店，2005.