三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教學(xué)的有效性研究

吉建國

【摘要】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式眾多，提高學(xué)生對其掌握的有效性，使學(xué)生能夠正確熟練地應(yīng)用于解題中，可以采取三種教學(xué)策略：一是明確誘導(dǎo)公式的思維主線，讓學(xué)生了解總體思路；二是對公式進行推導(dǎo)，讓學(xué)生知所以然；三是理解并應(yīng)用口訣解題，提高正確率.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；誘導(dǎo)公式；推導(dǎo)；口訣

三角函數(shù)誘導(dǎo)公式是高二數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容：通過學(xué)習三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，學(xué)生可以領(lǐng)悟三角函數(shù)變化的周期性規(guī)律，并且掌握由特殊推導(dǎo)一般的知識發(fā)現(xiàn)模式以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法，了解在數(shù)學(xué)中圖像的重要性；在高考題中，屢見三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式問題，在實際中，尤其是對一些物理現(xiàn)象的解答，也常常運用到三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.因此，學(xué)生必須能夠掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式并且能夠巧妙應(yīng)用于解題中.然而，在目前的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教學(xué)中，卻存在學(xué)生記錯公式或者是記得公式卻不能解題兩種問題.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教學(xué)有效性的提高勢在必行.經(jīng)過實踐，找到一些行之有效的方法.

一、明確三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的思維主線

三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可以求任意角的三角函數(shù)值，超越銳角到任意角，是特殊到一般的知識發(fā)現(xiàn)過程.那么，如何求得任意角的三角函數(shù)呢？是需要把任意角轉(zhuǎn)化為銳角，通過銳角三角函數(shù)值求得任意三角函數(shù)值，利用特殊來求得一般，這是知識解答的一般思維.繼之而來的，是把任意角轉(zhuǎn)化為銳角的方式與過程.方式為探究任意角的終邊與銳角的終邊的對稱關(guān)系，過程為由圓周的360°以內(nèi)推廣到360°之外.

二、推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

在了解了任意角與銳角的關(guān)系之后，便可以根據(jù)銳角三角函數(shù)值推導(dǎo)任意角三角函數(shù)值.在高中數(shù)學(xué)課上，推導(dǎo)過程是常常被忽視的，教師要求學(xué)生死記硬背公式，這樣做的結(jié)果是張冠李戴、混亂不堪，記憶錯誤進一步導(dǎo)致了學(xué)生實際應(yīng)用的錯誤.鑒于理解之于記憶和應(yīng)用的巨大功能，推導(dǎo)過程是不能省略掉的.

以正切值為例，演示一下推導(dǎo)過程.假設(shè)α終點與單位圓交點的坐標為（a，b），tanα=ba；-α對應(yīng)的坐標為（a，-b），tan（-α）=-ba=-tanα；π+α對應(yīng)的坐標為（-a，-b），tan（π+α）=-b-a=ba=tanα；π-α對應(yīng)的坐標為（-a，b），tan（π-α）=b-a=-ba=-tanα；π2-α對應(yīng)的坐標為（b，a），tanπ2-α=ab=1tanα=cotα；π2+α對應(yīng)的坐標為（-b，a），tanπ2+α=-ba=-1tanα=-cotα；2kπ+α對應(yīng)的坐標為（a，b），tan（2kπ+α）=ba=tanα.由此，得出正切的任意角三角函數(shù)誘導(dǎo)公式.至于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可以設(shè)α的終邊與單位圓相較于一點（a，b），在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出其他相對應(yīng)的五個誘導(dǎo)公式.

三、巧用口訣進行記憶和解題

理解了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式后，便要進行穩(wěn)固地記憶與靈活應(yīng)用.想要實現(xiàn)這個目標，可以使用一些口訣.先利用耳熟能詳?shù)目谠E“奇變偶不變，符號看象限”，確定等式右邊的三角函數(shù)的名稱；而在不同象限的等式右邊三角函數(shù)的符號，則采用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的口訣進行明確.

這兩句口訣很多學(xué)生會說，但并不會用，在操作時頻繁出錯，這是因為高度概括則會形成理解的困境.下面，闡釋一些這兩句口訣的理解問題：首先，是“奇變偶不變，符號看象限”，奇與偶，說的不是奇函數(shù)與偶函數(shù)，也不是π前面的數(shù)值與π的關(guān)系，而是kπ這個數(shù)值與π2的倍數(shù)關(guān)系，如果是奇數(shù)倍，誘導(dǎo)公式的右邊進行名稱變化，正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，如果是偶數(shù)倍，誘導(dǎo)公式的右邊依然保持原來的名稱，正弦依然是正弦，余弦依然是余弦，正切依然是正切；其次，是右邊等式的符號問題，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，即在第一象限的角的三角函數(shù)值全為正值，在第二象限的角的三角函數(shù)值只有正弦為正值，在第三象限的角的三角函數(shù)值只有正切是正值，在第四象限的角的三角函數(shù)值只有余弦是正值，象限角指的是nπ2±α是第幾象限的角，這里的α總是銳角，而α前的正負可以忽略，當然，如果n是負值，則另當別論.

理解了這兩句口訣后，可以先用教材上誘導(dǎo)公式來實踐一下，加深印象：sin（π+α）=-sinα，因為π是π2的2倍，所以等式右邊的名稱依然是sin，因為π+α是第三象限的角，第三象限的角正弦值為負，所以等式右邊為-sinα；sin（π-α）=sinα，因為π是π2的2倍，所以等式右邊的名稱依然是sin，因為π-α是第二象限的角，第二象限的角正弦值為正，所以等式右邊為sinα；sinπ2+α=cosα，因為π2是π2的1倍，所以等式右邊的名稱變?yōu)閏os，因為π2+α在第二象限，第二象限的正弦值為正，所以等式右邊為cosα；sin32π-α=-cosα，因為32π是π2的奇數(shù)倍，所以等式右邊的名稱變?yōu)閏os，因為32π-α是第三象限的角，第三象限的角的正弦值為負，所以等式右邊為-cosα……

【參考文獻】

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