重積分的幾何意義及應用

谷佳

【摘要】重積分是定義在空間區域上的積分，是定積分的推廣及發展.其中二重積分與三重積分應用最廣，它們的幾何意義也對今后的問題研究有重大作用.

【關鍵詞】二重積分；三重積分；幾何意義

在微積分中有兩大重要計算——微分和積分兩種運算，是數學學科中非常經典的互逆運算.在一元函數積分的學習過程中可以了解到，定積分是某種確定形式的和的極限，把這種和式的極限的思想推廣到定義在區域上多元函數的情況，就得到重積分.

二重積分表示一種類型和式的極限Df（x，y）dσ=limλ→0∑ni=1f（ζi，ηi）Δσi，三重積分表示ωf（x，y，z）dV=limλ→0∑ni=1f（ζi，ηi，ξi）Δvi，其值均取決于被積函數的對應規則和積分區域，而與積分變量的記號無關.連續是可積的充分條件.

二者的不同點是：二重積分的被積函數是定義在平面區域D上的二元函數，而三重積分的被積函數是定義在空間區域ω上的三元函數.

一、重積分的概念

設D為Rn中可求得體積的有界閉區域.f（X）是在D上有定義的函數.將D分割成互相沒有公共內點的任意N個可求得體積的閉子域D1，D2，…，DN，記此分劃為Δ，以‖Δ‖表示諸Di的直徑中最大者，稱之為此分劃的模數.任取點Xi∈Di，i=1，…，N，作和數∑Ni=1f（Xi）V（Di）.如果當‖Δ‖→0時，上述和數的極限存在，我們就說函數f（X）于閉區域D上可積，且稱該極限值為f（X）在D上的（n重）積分，記為∫Df（X）dV或∫Df（X）dX或∫D…∫f（x1，…，xn）dx1…dxn，其中f（X）稱為被積函數，D為積分區域.

通常的二重積分和三重積分分別表示為Df（X）dV和Df（X）dV.

二、重積分的幾何意義

（一）二重積分的幾何意義

設f（x，y）是二重積分的被積函數，則

（1）當f（x，y）≥0時，Df（x，y）dσ表示以曲面z=f（x，y）為曲頂，以D為底的柱體體積，或者表示為以μ=f（x，y）為平面密度的薄片D的質量.

（2）當f（x，y）<0時，二重積分是柱體體積或平面薄片質量的負值.

（3）當f（x，y）在D上的某些部分區域上是正值，而在其余的部分區域上是負值，那么，f（x，y）在D上的二重積分就是這些部分區域上的柱體體積的代數和.

例1運用二重積分的幾何意義判斷下例積分的值.

DR2-x2-y2dσ，D：x2+y2≤R2.

解投影區域是圓域D：x2+y2≤R2，被積函數是半球面z=R2-x2-y2，依據二重積分的幾何意義，上述積分即是上半球體的體積：

DR2-x2-y2dσ=12·43πR3=23πR3.

當我們計算給定的二重積分時，也要注意選擇合適的方法，如上題應用二重積分的幾何意義就非常簡便，但是如果依據尋常方法就會加大難度.

例如，用尋常方法解答上題：令x=rcosθ，y=rsinθ，其中0≤r≤R，θ≤r≤2π.則DR2-x2-y2dxdy=∫R0∫2π0（R2-r2）·rdrdθ=23πR3.

（二）三重積分的幾何意義

設f（x，y，z）是三重積分的被積函數，則

（1）當f（x，y，z）>0時，wf（x，y，z）dV表示體密度μ=f（x，y，z）的空間立體ω的質量.

（2）當f（x，y，z）<0時，三重積分表示立體質量的負值.

（3）當f（x，y，z）在ω上某些部分區域上是正值，而在其余的部分區域上是負值，那么，f（x，y，z）在ω上的三重積分就是這些部分區域上的立體質量的代數和.

（4）當f（x，y，z）=1時，就是其密度分布均勻且為1，質量就等于其體積值.

（5）當f（x，y，z）≠1時，說明密度分布不均勻.

例2運用三重積分求由z=x2+y2及z=x2+y2所圍成的立體的體積的值.

解用柱面坐標計算，顯然兩曲面的交線為

三、結論

應用重積分可求立體的體積及空間物體的質量，還可求曲面的面積、立體的重心、轉動慣量和物體之間的引力等.但是若在這些問題中巧妙地運用重積分的幾何意義，會使某些難以理解的問題大大簡化、清楚易懂.

【參考文獻】

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[2]馬富明，高文杰，主編.數學分析（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2014.

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