函數項級數一致收斂基本判別法的討論

鮑倚天

【摘要】一致收斂性是函數項級數的重要性質，函數項級數與數項級數有許多相似之處，但是我們不僅要判斷它在哪些點上收斂，還要研究其和函數具有的解析性質，這對函數項級數的收斂性提出了更高的要求.判斷函數項級數一致收斂問題是數學分析中的一個重點，也是難點，尤其是面對和函數不容易求出來甚至有些根本求不出來的情況.類比數項級數，我們也可得到一系列判斷函數項級數一致收斂的方法推廣，但我們要注意對基本方法的掌握.

【關鍵詞】函數項級數；數學；基本判別法

本文提供了關于函數項級數一致收斂基本的判定方法，通過分析、歸納、總結并結合相關例子說明方法的實用性，以方便讀者更好地理解函數項級數，快速地對函數項級數是否一致收斂做出判定.

一、利用一致收斂的定義判斷

設{un（x）}是定義在數集I上的一個函數列，表達式u1（x）+u2（x）+…+un（x）+…，x∈I稱為定義在I上的函數項級數，簡記為∑∞n=1un（x）或者

∑un（x）.稱Sn（x）=∑∞n=1un（x），n=1，2，…為函數項級數的部分和函數列.

若x0∈I，數項級數u1（x0）+u2（x0）+…+un（x0）+…收斂，即部分和Sn（x0）=∑∞n=1un（x0），當n→∞時極限存在，則稱級數在點x0收斂，x0稱為級數的收斂點.若級數在I的某個子集D上每點都收斂，則稱級數在D上收斂.若D為級數全體收斂點的集合，這時則稱D為級數的收斂域.級數在D上每一點x與其所對應的數項級數的和S（x）構成一個定義在D上的函數，稱為級數的和函數，并寫作u1（x）+u2（x）+…+un（x）+…=S（x），x∈D，

即 limn→∞Sn（x）=S（x），x∈D.

也就是說，函數項級數的收斂性就是指它的部分和函數列的收斂性.

四、結語

以上例子利用各種不同的基本方法證明了函數項級數的一致收斂性，還有其他方法在此不再討論，可類比證明數項級數一致收斂的方法推廣，如，根式判別法、比式判別法等.雖然有的我們已經很熟悉但是在實際證明中我們要根據已知選擇特定的方法，加快解題速度，往往我們證明函數項級數一致收斂的問題時需要綜合運用多種不同的方法，所以，要求我們要區分各個方法之間的優越性和缺點，把握解題關鍵.這也需要在平時多思考、總結、歸納，在不斷的練習和實踐中提高自身的分析問題、解決問題的能力.

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