向量組線性相關性的探討

韋娜娜

【摘要】向量組的線性相關性是線性代數課程中的重要知識點，本文以下列三類題型對此知識點進行更深的探討，并總結相應的做題技巧.

【關鍵詞】向量組；線性相關；線性無關

【基金項目】2016年西安財經學院行知學院優秀課程建設項目，項目編號：16YXKC18.

向量組的線性相關性無論從概念還是從邏輯上說，是復雜抽象的，本文簡單扼要給出判斷向量組線性相關性的幾種常用的方法并總結.

定理1：齊次線性方程組Am×nX=O有非零解當且僅當R（A）

定理2：向量組α1，α2，…，αs是線性相關的R（α1，α2，…，αs）

同理，向量組α1，α2，…，αs是線性無關的R（α1，α2，…，αs）=s|α1，α2，…，αs|≠0.

題型一設α1=1，2，1T，α2=1，1，1T，α3=（-3，-2，1）T，判斷此向量組的線性相關性.

解法一

∵（α1，α2，α3）=11-321-2111r2-2r1r3-r111-30-14004，

∴R（α1，α2，α3）=3，

故此向量組線性無關.

解法二

∵|（α1，α2，α3）|=11-321-2111=（1-6-2）+（-3-2+2）=-10≠0，

∴此向量組線性無關.

題型二設向量組α1=1+λ11，α2=11+λ1，α3=111+λ的秩為2，則λ=（）.

解由題知

|（α1，α2，α3）|=1+λ1111+λ1111+λ

=（3+λ）11111+λ1111+λr2-r1r3-r1（3+λ）1110λ100λ

=（3+λ）λ2=0，

得λ1=0，λ2=-3，

代入λ1=0，得R（α1，α2，α3）=1，故舍去，從而解為-3.

題型三已知向量組α1，α2，α3，α4是線性無關的，試判斷向量組α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1的線性相關性.

解設存在一組數k1，k2，k3，k4，使得

k1（α1+α2）+k2（α2+α3）+k3（α3+α4）+k4（α4+α1）=0，（1）

即：（k1+k4）α1+（k1+k2）α2+（k2+k3）α3+（k3+k4）α4=0.

由于向量組α1，α2，α3，α4是線性無關的，則有下列的齊次線性方程組：

k1+k4=0，k1+k2=0，k2+k3=0，k3+k4=0.（2）

∵系數矩陣

A=1001110001100011r4-r31001010-100110000，

∴R（A）=3.

從而（2）式有非零解，存在不全為零的數k1，k2，k3，k4，使得（1）式成立.故向量組α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1是線性相關的.

總結

判斷向量組的線性相關性，可用本文中提到的思路來解決：矩陣的秩法[就是把向量按列排成矩陣，對此矩陣進行初等行變換，變成階梯形矩陣，得出矩陣的秩（即向量組的秩）]、矩陣行列式法、定義法.而對于某一具體的矩陣來說，大家需要在平時的做題中，細心理解，慢慢總結，循序漸進，才能總結出做題相應的簡便方法與技巧.

【參考文獻】

[1]張禾瑞，郝鈵新.高等代數[M].北京：高等教育出版社，1983.