正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判定方法的探討

張輝+方曉峰+趙偉舟?お?

【摘要】本文研究一種判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法，并通過(guò)典型例題，說(shuō)明如何判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性.

【關(guān)鍵詞】正項(xiàng)級(jí)數(shù)；收斂；發(fā)散

【基金項(xiàng)目】陜西省高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目重點(diǎn)課題（編號(hào)：15BZ74）、陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目（編號(hào)：16JK1696）資助.

對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂性的判定，教材[1]介紹了比較、比值、根值和極限審斂法等.而對(duì)于一些特殊正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，如∑∞n=1∫πn0sin2017tetdt，采用上述方法很難解決甚至無(wú)法判斷.本文介紹一種判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法，并舉例說(shuō)明巧妙利用此方法可以提高解題效率，達(dá)到事半功倍的效果.

定理1設(shè)f（x）在[0，1]上一階可導(dǎo)，f（x）≥0，且f（x）在x=0點(diǎn)具有二階右導(dǎo)數(shù)，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1f1n收斂的充分必要條件是f（0）=f′（0）=0.

證明必要性.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1f1n收斂，由收斂級(jí)數(shù)的必要條件得

綜上所述，對(duì)于一些特定的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，定理1給出了一種判斷其斂散性簡(jiǎn)便有效的方法，望初學(xué)者能靈活使用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：下冊(cè)[M].第7版.北京：高等教育出版社，2014：259-271.