到底是“科學性錯誤”還是“基于學情”

萬姝瑋++蔣亦

[摘 要] 一切學習在本質上都是自我學習，教學要基于學生. 數學家加德納說：“數學的真諦在于不斷尋求越來越簡單的方法證明定理和數學問題. ”教師通過恰當地設問和追問與學生對話，并通過對話暴露學生的思維過程，然后生成的東西才是學生真正所擁有的、長久的知識.

[關鍵詞] 函數的奇偶性；教學設計

最近上了一堂賽課，課題是《函數的奇偶性》（教材：蘇教版必修1第41至43頁），下午4：00以后公布課題，次日上午上課. 時間很短，緊張思考，倉促準備，上完課，感覺無論是學生還是聽課的教師和評委都被吸引住了，應該不差. 可沒想到的是得到的評價卻是“毀譽參半”！有人認為這是一堂精彩的課，也有人認為這堂課犯了“科學性錯誤”. 這讓筆者思考良久……

[?] 回顧

1. 教學實錄

日常生活中，可以觀察到許多對稱現象：美麗的蝴蝶，泰姬陵和她在水中的倒影，徽章和風車……（PPT演示）

圖1

教師：這些對稱可以分為兩類，大家可以說說是哪兩類嗎？

學生：關于直線對稱和關于點中心對稱.

問題1：在已經學過的函數中，也有一些函數的圖像是對稱的，大家能否舉出一些例子？

學生：f（x）=x2， f（x）=（x-1）2， f（x）=x，f（x）=x+1， f（x）=（幾何畫板繪圖）.

教師：

對稱關于直線對稱——關于y軸對稱，

關于點對稱——關于原點對稱.

我們把圖像關于y軸對稱的函數叫偶函數，圖像關于原點對稱的函數叫奇函數.

比如說，剛才大家舉的例子中，哪些是偶函數，哪些是奇函數？

學生：偶函數有f（x）=x2，奇函數有f（x）=x，f（x）=.

問題2：函數f（x）=x+的奇偶性是怎樣的？

學生：……（面面相覷）

教師：大家之所以感到為難，是因為不清楚f（x）=x+的圖像的特征. 因此，我們有必要從代數的角度來理解函數圖像的對稱性.

問題3：請大家觀察函數f（x）=x2的圖像，函數值對應表是如何體現圖像關于y軸對稱的[1]？

學生：f（-2）=4=f（2）， f（-1）=1=f（1），f（-3）=9=f（3）……

教師：那是否對所有x0，都有f（x0）=f（-x0）？

學生：是的， f（-x）=x2=f（x）.

教師：請大家看課本第34頁例2，函數y=x的圖像是關于y軸對稱的，有類似的性質嗎？哪位同學來說說[2]？

學生：f（-2）=2=f（2）， f（-1）=1=f（1），f（-3）=3=f（3）……一般地，對任意x0，都有 f（x0）=

x0

=f（-x0）.

問題4：一般地，對任意一個圖像關于y軸對稱的函數來說，都有f（-x）=f（x）嗎？

學生：是的.

教師：一般地，從代數角度來理解函數圖像關于y軸對稱的方法是f（-x）=f（x）.

一般地，如果對于函數y=f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）=f（x），那么函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱，此時也稱函數y=f（x）為偶函數.

板演：一般地，設函數y=f（x）的定義域為A.

偶函數：對于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x）.

注：偶函數的圖像關于y軸對稱.

問題5：請大家觀察函數f（x）=的圖像，函數值對應表是如何體現圖像關于原點對稱的？

學生： f（-3）=-=-f（3）， f（-2）= -=-f（2）， f（-1）=-1=-f（1）……

一般地， f（-x）=-=-f（x）.

教師：f（x）=x的圖像也是關于原點對稱的，有類似的性質嗎？

學生：……

問題6：你能類比偶函數得出一個定義嗎？

學生：一般地，如果對于函數f（x）定義域內任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那么函數f（x）的圖像關于原點對稱，此時也稱函數f（x）為奇函數.

板演：一般地，設函數y=f（x）的定義域為A.

奇函數：對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x）.

注：奇函數的圖像關于原點對稱.

教師：我們從代數的角度來理解了函數圖像的對稱性. 再看問題2（函數f（x）=x+的奇偶性）.

學生：奇函數，因為f（-x）=-x-= -f（x）.

辨析題（課本第43頁練習4）：對于定義在R上的函數f（x），下列判斷是否正確？

（1）若f（x）是偶函數，則f（-2）=f（2）；

（2）若f（-2）=f（2），則f（x）是偶函數；

（3）若f（-2）≠f（2），則f（x）不是偶函數.

有些學生對（2）的判斷有誤，追問：若f（-1）=f（1），f（-2）=f（2），…，f（-n）=f（n）（n∈N*），則f（x）是偶函數嗎？由此強調定義中的關鍵字“任意的”.

對（3）學生用反證法說明了理由，追問：還有其他的否定方法嗎？

學生：（沉默）

教師：隨便x取什么值，都有f（-x）=f（x）. 這個結論怎么否定？

學生（齊）：舉反例.

教師：這也是生活中常用的方法，比如說怎么否定“天下烏鴉一般黑”？

學生：只要找到一只烏鴉不是黑的就行了.

問題7：下列函數具有奇偶性嗎？（如圖4）由此，有何結論？

學生：沒有奇偶性.

教師：對于f（x）=x2，x∈[-3，2]而言，不是有f（-x）=f（x）么？怎么沒有奇偶性呢？

學生：f（3）無意義.

教師：那么奇（偶）函數的定義域有何特征？

學生：區間端點互為相反數.

教師：很好，能不能也用“對稱”的說法來刻畫？

學生：奇（偶）函數的定義域關于原點對稱.

教師：非常精彩！不僅奇（偶）函數的圖像對稱，而且其定義域也是關于原點對稱的.

判斷下列函數的奇偶性：

（1）f（x）=x2-1；

（2）f（x）=2x；

（3）f（x）=（x-1）2；

（4）f（x）=.

小結：（1）判斷函數奇偶性的兩種方法：定義和圖像.

（2）用定義判斷函數奇偶性的步驟：先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；再確定f（x）與f（-x）的關系，得出結論. （40分鐘到，下課鈴聲響，匆忙小結）

教師（課堂小結）：本節課數形結合思想貫穿始終，從圖像的特征發現了點坐標之間的關系，從而得出了數學結論. 這種研究函數性質的方法還要延續.

2. 設計說明

雖然準備時間倉促，但筆者還是認真閱讀了教材§2.2.2《函數的奇偶性》三遍才開始寫教案. 兩小時完工后再回看，感覺不自然，重新細看教材后發現教材的思路“日常生活中的對稱現象→基本函數圖像中類似的對稱性→數量關系刻畫→定義→例題和說明”不自然，特別是對難點“如何用數量關系來刻畫函數圖像的對稱性”的突破顯得混亂. 先由圖像感知（教材旁注中還插圖折紙演示），下面又由特值舉例說明，似乎不符合認知規律. “應該先由特值感知到結論，再從圖像進行一般說明才對啊！”抱著疑問，筆者又翻開了人教版教材，果然是先從列表畫圖中發現了數量關系f（-2）=4=f（2）……再由兩個特例y=x2，y=x得到了偶函數的定義. 整個流程比蘇教版自然流暢，更符合高一新生的學情，因此筆者設計了問題3和問題4. 另一方面，蘇教版的情境引入又給人美感，所以設計了問題1和問題2. 但萬沒想到的是這兩個自認為精彩的設計成了評委的爭議！

3. 評價點評

評委意見分為兩類，一類認為：問題設計別致，整堂課由問題驅動，自然生成了幾乎所有結論，學生積極思考，課堂結構完整（也是唯一一位把例題教學和課堂小結都完成的選手）. 另一類認為：選手是通過兩個特例y=x2，y=x來說明“一般地，對任意一個圖像關于y軸對稱的函數都有f（-x）=f（x）”這個數量關系的，僅憑歸納猜想得出結論，是科學性錯誤，應該一票否決；另外，在引入時，選手說“圖像關于y軸對稱的函數叫偶函數，圖像關于原點對稱的函數叫奇函數”，如此給函數的奇偶性下定義，書上沒有，欠妥. 這節課成為爭議，真是毀譽參半.

[?] 思考

1. 陷入困惑

反思自己：為了使課堂引入出彩，努力抓住學生的注意力，設計了問題1和問題2，結果得到了一個“不符合教材說法，欠妥”的評論；為了使課堂自然流暢，從學情出發，設計了問題3和問題4，結果弄出了“科學性錯誤”. 那么試問什么課堂才是精彩？四平八穩、千篇一律、因循守舊的教學設計才可能是優質課嗎？難道創新就會導致錯誤？想了幾天還是不能接受，大膽提出一個猜想：也許自己是對的呢？事實上也只是一部分評委反對而已！

2. 深入思考

“圖像關于y軸對稱的函數叫偶函數，圖像關于原點對稱的函數叫奇函數”這個說法是否“欠妥”？教材定義：如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么稱函數y=f（x）是偶函數. 這個定義是怎么來的？不還是根據函數圖像關于y軸對稱，用數量關系刻畫得出的嗎？根本原因還是函數圖像關于y軸對稱. 事實上，“函數圖像關于y軸對稱”的充要條件就是“對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x）”. 因此，筆者認為這個說法完全正確，沒有“欠妥”！

通過兩個特例y=x2，y=x來說明“一般地，對任意一個圖像關于y軸對稱的函數都有f（-x）=f（x）”這個數量關系，用歸納猜想得出的結論，是科學性錯誤？言外之意，就是必須嚴格論證了. 讓我們看看教材：“觀察函數f（x）=x2的圖像，我們發現，函數f（x）=x2的圖像關于y軸對稱（并附了一張圖）”“f（-2）=4=f（2）……實際上，對于函數f（x）=x2定義域R內任意一個x，都有f（-x）=x2=f（x）. 這時我們稱函數f（x）=x2為偶函數”. 教師用書旁注：“用數學符號語言刻畫函數圖像的對稱性，可以先從點的對稱出發（如點（x0，y0）關于y軸的對稱點是（-x0，y0），關于原點的對稱點是（-x0，-y0）等），再過渡到點在函數圖像上y0如何用x0表示，最后歸納到奇偶性的概念.”這也只是教學參考，不是教學必須遵循的標準答案（唯一的教學方案）. 更何況無論是蘇教版還是人教版教材，正文根本沒有給出任何嚴格的論證，都是由特例得到偶函數的定義的. 教材中類似的論述還有很多，比如復合函數求導法則，這些都是科學性錯誤嗎？肯定不是，只是針對學生目前知識不夠的權宜之計，是基于學情的不得已. 這種教學處理方法最多只是“有待商討”，談不上“科學性錯誤”.

現在就商討要不要給出嚴格論證呢？初中數學教材中將“軸對稱圖形”描述為“沿某一直線翻折后與其另一部分完全重合的圖形”[3]，事實上，蘇教版教材旁注了一張折紙演示函數f（x）=x2圖像的對稱性，知道高一新生對對稱性僅僅是“描述性定義”[3]的認知水平. 要實現教師用書的教學建議，也許對重點高中學生還行，但是對于這個普通高中的學生是不合適的，設計的問題3和問題4正是基于學情的. 事實表明，基于人教版教材的問題3和問題4使課堂自然流暢. 相反，采用教師用書建議的課堂是低效的，沒有有效突破教學的重點、難點. 因此，筆者的教學處理方案不僅沒有科學性錯誤，反而是明智的選擇.

3. 在路上

經常聽同行說，每個人的教學觀念和經驗不同，對同一個教學內容往往有不同的教學處理方法，也沒有唯一正確的教學方案可言. 這句話在很大程度上是對的，筆者也一直在學習各種不同的教學處理方案和評價，在對比中汲取營養不斷成長. 筆者尊重與自己相左的教學處理方案和評價，因為他們給了筆者思考；也非常欣賞與筆者相同的教學處理方案和評價，因為他們給了筆者鼓舞. 但是，每當筆者對比各種不同的教學處理方案和評價時，常常發現總是有一種比較好的，并不是樣樣都行. 到底哪種方案最好？需要我們不斷地追問、思考、鉆研和學習. 讓我們一起走在專業成長的路上……

參考文獻：

[1] 普通高中課程標準試驗教科書數學必修1（人教版）. 人民教育出版社，2013.

[2] 普通高中課程標準試驗教科書數學必修1（蘇教版）教師用書. 人民教育出版社，2015.

[3] 陳姝妮. 由圖形的對稱性講函數的“奇偶性”一課[J].上海中學數學，2012，（12）：9-11.