激奇·聯系·分層

精心設計新知的引入接口、建構活動和應用練習是提高數學新授教學質量的關鍵。不過，教學終究是遺憾的藝術，教師只有通過反思，找到不足并作出改進，才能不斷提高教學質量，同時提升專業素養。

“因數與倍數”是學習分數約分、通分的基礎，也是學習分數運算的關鍵。蘇教版小學數學五年級下冊第三單元“因數與倍數”第一課時內容主要分為三大板塊：例題1通過擺小正方體引入因數與倍數的概念；例題2尋找因數及發現因數特征，例題3尋找倍數及發現倍數特征。下面，呈現筆者對例題1教學的反思與改進。

一、對新知引入的反思與改進

第一次執教時，筆者設計如下談話內容進行引入：

1.這節課我們將繼續學習有關數的知識。請回憶一下，我們已經認識了哪些數？

2.今天我們將從一個特定的角度對除0之外的自然數進行研究，探索它們的相互關系及其特征。

這里的談話引導既強調了新內容與相關知識的聯系，又明確了新內容所涉及的基本問題。但是事實上，教學過程中學生并未形成主動探究的積極心向。究其原因，主要有兩點：一是教學伊始教師就提出要對除0之外的自然數進行研究，不僅抽象，而且有些唐突，沒有留給學生緩沖的時間；二是本課之前學生都是獨立地研究整數，而本課要求學生對兩個或幾個自然數之間的關系展開研究，這種視角的改變造成了學生的不適應。因此，第二次執教時，筆者以講故事的方式，從最先研究因數與倍數的古希臘人開始引入：

今天我們學習的因數與倍數，其實早在兩千多年前古希臘人就開始研究了。他們發現數與數之間是有關聯的。比如6可以用2×3來表示，這樣就發現了2、3與6這幾個數之間的聯系。這些聯系我們還可以借助圖形拼搭的方式來發現。再比如說12這個數，它與哪些數有關聯呢？我們可以試著用12個同樣大的正方形來研究。

從一個真實、有趣的故事引入，通過談話提煉出與本節課內容有關的知識，將抽象的數學知識具體化、形象化。這樣的設計不僅能有效吸引學生的注意力，勾起學生的好奇心，而且為他們初步理解數與數之間相互依存的關系提供了有力的支撐，整個教學過程顯得簡潔、干練。

二、對新知建構的反思與改進

第一次執教時，筆者設計如下探究活動引導學生建構因數與倍數的概念：

1.動手操作，引出乘法算式。

（1）活動：拿出準備好的12個同樣大的正方形，將它們拼成一個長方形。先自己拼一拼，然后在組內交流。

通過課件演示，明確有些擺法通過旋轉其實是一樣的。

（2）交流：有幾種不同的拼法？各種拼法中每排擺了幾個，擺了幾排？可以用怎樣的乘法算式表示？

根據學生的交流，板書“12×1=12，6×2=12，4×3=12”。

2.介紹說明，理解概念含義。

（1）示范：通過擺小正方形，得到三道乘法算式，這幾道乘法算式和今天學習的因數與倍數有什么關系呢？以4×3=12為例，因為4和3相乘等于12，我們就說4是12的因數，3也是12的因數，12是4的倍數，12也是3的倍數。請同學們像這樣說一說4、3和12之間的關系。

（2）模仿：12×1=12，6×2=12，請同學們任選其中一道算式，和同桌說一說哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數。

（3）追問：如果只說12是倍數，4是因數，可以嗎？為什么？

通過交流與引導，指出：因數與倍數是兩個數之間的關系，所以一定要說清楚哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數。

這里，首先從操作入手，借助12個小正方形擺長方形的直觀材料，以數形結合的方式作出范例直言；接著通過模仿與反饋，初步體會和認識因數與倍數的依存關系，逐步領悟和形成因數與倍數的意義。但是在課后，有一位成績很好的學生詢問筆者：“以前我們學過因數，也學過一個數是另個數的幾倍，它們和今天學的因數與倍數有什么相同和不同呢？”于是，筆者反思自己的教學，發現對學生的疑惑確實沒有任何交代。因此，第二次執教時，筆者深入細致地分析了學生的學習基礎和認知需要，作出了適當的改進：

1.動手操作，引出乘法算式。（同第一次執教，過程省略）

2.滲透聯系（舊知），初步建立概念。

（1）聯系：剛才我們擺出了三個長方形，寫出了三道乘法算式。以4×3=12為例，聯系以前學習的知識，你能想到什么？

學生說出乘法算式中各部分的名稱：4和3都是因數（乘數），12是它們的積；還說出倍數關系：12是4的3倍，12是3的4倍。

（2）示范：其實，今天我們要學習的新知識就在這個算式之中。因為4×3=12，所以4、3和12之間的關系可以說成4是12的因數，3也是12的因數；反過來，也可以說成12是4的倍數，12也是3的倍數。請同學們像這樣說一說4、3和12之間的關系。

（3）模仿：還有兩道乘法算式，12×1=12，6×2=12，請同學們任選一道，和同桌說一說。

結合學生的交流，引導學生感受到12和它本身的關系很特別：12既是12的因數，也是12的倍數。

3.對比辨析（舊知），進一步明確概念。

（1）提問：在2.4×5=12中，以前我們可以說12是2.4的5倍，那么現在我們可以說2.4是12的因數，12是2.4的倍數嗎？

根據剛才所學，學生多半點頭同意。這時，可以讓學生自主閱讀教材第30頁的底注，并提醒學生：以前認識的幾倍關系可以是小數，可以是整數；而今天研究因數與倍數時，所說的數一般指不是0的自然數。至于為什么是非0的數，可以聯系剛才擺出的長方形，用長或者寬不可能是0來解釋。

（2）質疑：在4×3=12中，以前我們說4是因數，現在我們說4是12的因數，這兩種說法一樣嗎？

通過交流與引導，指出：這節課研究的因數與乘法算式中的因數不同；在4×3=12中，4是因數指的是4在算式中的名稱，4是12的因數指的是4和12之間的關系，兩者不能搞混。

學生以前接觸過因數與倍的概念，但是本節課學習的因數與倍數概念與它們不同，因此學生在本節課的學習中容易對相關的概念產生混淆、無法區分。這就要求教師在幫助學生形成因數與倍數概念時，根據知識的內在聯系和學生的認知水平，在豐富了學生的感性認識后順水推舟地揭示概念含義。上述教學中，教師以4×3=12為例，讓學生聯系以前學習的知識展開聯想，然后順勢揭示因數與倍數的含義，最后還讓學生對比辨析新舊知識的差異，化解了學生學習中的疑難點，進一步明確了因數與倍數的概念。這樣的教學過程促使學生利用原有的概念積極建構新概念，將所學知識融為一體。

三、對新知應用的反思與改進

第一次執教時，筆者利用如下教材練習組織學生應用因數與倍數的概念：

出示：8×9=72；11×4=44；1×15=15。

要求：先分別看乘法算式，說說哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數；再把乘法算式改寫為除法算式，然后分別看除法算式，說說哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數。

以上練習主要是讓學生及時鞏固因數與倍數的概念，理解由乘法和除法算式都可以找出因數與倍數關系，整體而言，似乎并無不妥。但是教學后，筆者發現這樣的重復設計略顯呆板，使得課堂氣氛較為沉悶。于是，第二次執教時，筆者從習題的編排和教學的形式上作出了適當的改進：

1.基礎練習。

出示：8×9=72；44÷4=11。

要求：根據算式，先想一想拼成的是一個怎樣的長方形，再說一說數字之間的關系。

通過交流和引導，明確：根據除法算式，同樣可以說出4、11和44之間的關系；除法算式可以轉化成11×4=44，道理是一樣的。

2.拓展練習。

（1）出示：4、5、8、16。

提問：如果沒有算式，只有這幾個數，你能找出它們之間的關系嗎？

通過觀察與補充，學生找出：4是8的因數，4是16的因數；8是16的因數；8是4的倍數，16是4的倍數，16是8的倍數。

（2）辨析：8既是4的倍數，又是16的因數，我們就說8是因數或8是倍數，可以嗎？

在交流中明確：因數與倍數是兩個數之間的關系，一定要說哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數。

（3）逆向思考：由8是4的倍數，你想到的是哪個式子？由4是16的因數呢？

（4）特例尋因：5在這四個數中很特別，你發現了嗎？

從給出乘法算式、除法算式到給出幾個具有內在關聯的非0自然數，讓學生從不同的角度逐步豐富對因數與倍數概念的理解，感受“相互依存”的數學內涵。這樣的練習緊扣內容核心，既自然順暢、合情合理，又具有內在的層次性和啟發性，可以引導學生拾級而上，逐步完成概念的鞏固提升。另外，在練習中，教師非常注重“因數與倍數關系”和“乘法算式”之間的切換性追問。這些追問有助于增進“因數與倍數關系”和“乘法算式”之間的內聯意識，強化“因數與倍數概念”建立于“算式”的感知表象，從而加深對“依存關系”的認識和理解。