等比數列求和公式推導方法的價值分析

摘要：有價值的數學內容（或者說合適的數學內容），關鍵在于知識上盡可能承上啟下，思想上盡可能有可操作性和應用的廣泛性，核心素養上盡可能多蘊含指標要素。據此分析，等比數列求和公式推導方法中，錯位相減法價值最低；迭代、遞推法價值稍高；裂項相消法價值最高，尤其具有應用的廣泛性。

關鍵詞：等比數列求和公式推導方法價值分析數學素養

高中數學教學中，推導公比不為1的等比數列的求和公式時，最常見的方法是錯位相減法：由Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1 +a1qn，兩式作差得（1-q）Sn=a1（1-qn），從而當q≠1時，Sn=a1（1-qn）1-q。單就等比數列求和而言，這一方法具有簡便優勢（因而成為國內大多數教材編寫以及教師教學選用的推導方法）。對此，筆者的問題是：放入整章乃至整個高中數學知識體系中，這一方法具有的價值如何？是否還有更好的方法代替？以上問題，本質上涉及的是數學內容價值的評判標準：除了簡便，還有其他標準嗎？

一、評判數學內容價值的通俗標準

一個數學內容，不外乎是知識、思想以及正在研發的數學核心素養。

高中數學是介于初中基礎和大學發展之間的中等數學。這就決定了數學知識價值的評判標準是承上啟下。從數學教學的時間進展上看，這里的承上往往指向之前學習過的知識，而啟下通常指向之后要學習的知識。

從數學教學的角度看，數學思想價值的評判最終的落點是可操作性及應用的廣泛性。據此，可以將數學思想通俗地分為方法（應用比較廣泛，更具一般性）和技巧（應用不太廣泛，僅針對特殊類的問題）。

目前，根據偏重于數學學科還是偏重于數學教學，對數學核心素養的理解，基本上可分為原本派和教考派。原本派根據核心素養的原始含義“覆蓋多個生活領域的，能促進生活和健全社會的重要素養”，推得“數學核心素養是指覆蓋數學領域的，能有效促進數學學習、應用及研究的內容及措施要點”。在此意義下，數學核心素養的指標體系可以概括為“概公（概念和公理）、推算（推理及運算）、表示”。教考派認為“數學核心素養是指學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的數學領域的必備品格和關鍵能力”。在此意義下，核心素養的指標體系有“六核”（數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，或數學化、數學運算、數學推理、數學意識、數學思想方法、數學情感態度與價值觀）“七核”（數學抽象、運算能力、推理能力、建模和數據處理、空間能力、問題解決能力、數學文化品格）和“八核”（數學抽象、運算能力、推理能力、數學建模、數據處理、空間能力、問題解決能力、數學文化品格）之爭議。

有價值的數學內容（或者說合適的數學內容），關鍵在于知識上盡可能承上啟下，思想上盡可能有可操作性和應用的廣泛性，核心素養上盡可能多蘊含指標要素。

二、錯位相減法的價值分析

根據上述標準分析，錯位相減法用到了等比數列通項公式、等式的性質，滿足承上，但是與啟下毫不沾邊；兩邊乘公比后兩式相減，具有可操作性，但是除了推廣到“等差數列與等比數列對應項乘積求和”這類問題之外鮮有應用，即應用不廣泛（一般處理就是當作一種“定勢模型”，即歸結為一種運算技巧更合適）；至于數學核心素養的蘊含，更是難見聯系。因此，這種推導方法價值不高，已經跟不上數學教育發展的步伐了。

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