偏微分方程數值解課程教學改革的探索與實踐

沈海龍+++邵新慧

摘要 本文分析了當前偏微分方程數值解課程教學存在的一些問題，結合多年的本科生和研究生的教學實踐，給出了偏微分方程數值解課程教學改革的具體措施，總結了改革的效果。

關鍵詞 偏微分方程數值解；數值實驗；數學教學

中圖分類號 G420；O241.8 文獻標識 C

1. 引言

科學計算在自然科學、技術科學和工程科學等各個領域中起著越來越重要的作用，成為很多領域中不可缺少的工具。在自然科學和實際工程問題中的大量數學模型都可以用偏微分方程來描述，如滲流問題中的非局部反應流，流體中的反射性元素衰減等問題。要通過偏微分方程模型來研究這些問題，就需要求解偏微分方程，但是絕大多數偏微分方程很難得到其解析形式的解，這就產生了理論和應用的矛盾。隨著科學技術的飛速發展，計算機得以廣泛應用且計算速度和軟硬件日新月異。以計算機為基礎的一門學科——偏微分方程數值解法，得到了前所未有的發展和應用，并成為了解決上述矛盾的一個重要工具。因此，不僅數學工作者要學習和掌握偏微分方程數值解的知識，其它理工科專業的科技工作者也迫切需要學習和掌握偏微分方程數值解的知識，以便結合自身專業開展與科學工程計算相關的研究工作。

偏微分方程數值解課程是科學與工程計算領域的重要課程，國內外各大學均已普遍開設。開設這門課程對提高研究生的科學創新能力和科學計算能力有著十分重要的意義，有利于培養和提高工科研究生的綜合素質和應用數學方法從事創造性研究工作的能力。

在我校，偏微分方程數值解課程教學已具有扎實的基礎，擁有教學經驗豐富的教師隊伍，數學系也為本課程提供了計算機實驗室，并配有專門的實驗課指導

教師，這就為偏微分方程數值解課程教學改革方案的實施提供了有利的條件。

但是僅有硬件設施還遠遠不夠，為了提高教學質量，激發學生學習興趣，我們又提出了一系列的教改措施，經過兩年的實踐，我們覺得改革方案是成功的。以下就課程的教學改革，談談我們的一些思考和嘗試。

2. 對《微分方程數值解法》課程教學的探索和做法

（一）、教材、教輔書籍的選擇

偏微分方程數值解的教材有很多，但并不是所有教材都是利用學生學習和掌握偏微分方程數值解理論的，有的教材在推導公式時使用的語言晦澀，公式抽象，學生難于理解。我們授課選擇了吉林大學李榮華編寫的《偏微分方程數值解法》，其內容體現了由淺入深、循序漸進的原則；敘述表達嚴謹精練、清晰易讀，便于教學與學生自學，且教材中充分反映了偏微分方程數值解法理論的核心內容。同時又給學生推薦了清華大學陸金甫編寫的《偏微分方程數值解》作為教輔，之所以選擇這本書作為教輔是因為每章后面都配置了相當數量的習題，便于學生復習、鞏固、理解和拓廣所學的知識。

（二）、教學方法的改革

偏微分方程數值解課程需要以數值分析課程的主要內容為基礎，但我們學校除了數學系、信息學院和軟件學院的學生在本科階段就已經學習了數值分析課程外，其他專業都是將數值分析課程作為研究生階段的必修課程，所以我們向研究生院申請在排課時將偏微分方程數值解課程安排在數值分析課程開課八周之后，使學生具備一定的基礎之后再來學習偏微分方程數值解得課程。

在講授偏微分方程數值解這門課程時，我們并沒有迎合學生一貫的思維模式，只是側重于數學理論的講解，也沒有大量介紹具體應用，這是由于學生缺乏相關背景知識，會使學生感到迷茫，而是將理論講述和應用介紹有機地進行了結合：理論介紹深入淺出，言簡意賅。與此同時又把某些算法與實際問題聯系起來，使學生在學習中產生興趣。例如在講橢圓型偏微分方程時介紹穩定滲流問題；在講雙曲型偏微分方程時介紹石油鉆桿在鉆井過程中振動問題等等。

（三）、教學手段的改革，制作多媒體課件輔助教學

從以往的教學經驗來看，偏微分方程數值解的教學存在諸多問題，諸如課時少、內容多、授課一直以板書為主、教學手段比較單一。 而偏微分方程數值解涉及很多數學推導，如果單純采取板書，那么會浪費很多時間，造成學生學到的知識點很少；如果完全依賴于多媒體教學，就會使學生感到單調枯燥，甚至根本學不會。于是我們將多媒體教學與板書推導合理地進行了結合，將橢圓方程、拋物方程、雙曲方程的差分法以及各種算法的穩定性、收斂性和相容性都制作成電子教案，這樣既避免了教學方式的單一， 又節省了時間，使學生在短暫的時間里學到更多的知識。與此同時，又將教學大綱、習題、實驗指導以及多媒體課件提供給學生，更好地便于學生理解和學習。

（四）、增加實踐教學環節， 理論聯系實際

以往偏微分方程數值解課程只重視學生是否掌握理論求解，而不重視上機實踐，這就等于紙上談兵。因此我們在講授每種方法時，首先要求學生熟悉每種格式的推導，重點了解如何用數值積分或數值微分的方法推導連續方程的離散格式，培養學生將連續問題離散化的能力。另外，我們還會給學生安排一些上機實踐題目，讓學生把所學的算法程序化，從而達到培養學生邏輯思維能力的目的，提高學生應對問題、解決問題的動手能力，并要求學生盡可能結合專業背景來處理邊值條件。通過這種方式的培養，學生的算法分析與設計能力得到大大提高，為將來利用所學方法解決實際課題打下堅實的基礎。

（五）、考試方式的改革

以往《偏微分方程數值解》課程的考試方式是閉卷筆試，這就會使學生只是在背誦理論和習題，而不能真正掌握相關的理論知識和方法，且學生的上機編程計算能力在試卷上得不到體現。針對這一現象，我們大膽實施了考試方式的改革，將理論知識掌握情況的考查設計為開卷方式，其中也可能會涉及編寫程序的內容，這樣可以使得考試的題目更具有開放性，便于學生自主學習，筆試占總成績的百分之七十。另外在期末會在平時的上機實習作業中選擇一題，讓學生寫成實驗報告上交，這部分將占總成績的百分之三十。

這樣，考試方法的改革改變了一張試卷定分數的格局，既調動了學生學習的主動性和積極性，同時又給學生提供充分發揮自己個人能力的機會。

3. 結語

對于工科院校的研究生來說，《偏微分方程數值解》課程的學習，既要擁有扎實的理論基礎，又要具有分析和解決實際工程中的問題能力。具體到教學，作為教師的我們，就應當即要重視課堂數學理論的教學，又要注意對學生解決實際工程問題的引導和培養，結合學生專業的特點來確定培養目標從而提高學生分析問題和解決問題的能力。經過兩年的教改立項的實施，我們發現提出的教改方案切實可行，事半功倍。

4. 參考文獻

[1] 李榮華. 偏微分方程數值解法[M]. 北京： 高等教育出版社，2010.

[2] 張鐵，閻家斌. 數值分析[M]. 北京： 冶金工業出版社，2010.

Abstract. In this paper， some problems in the current numerical solution of partial differential equations teaching were analyzed. Combined with many years teaching practice of undergraduate and graduate， we gave the specific measures of numerical solution of partial differential equations teaching reform， and summed up the effect of the reform.

Keywords. Numerical solution of partial differential equations， numerical experiments， mathematics teaching