“數(shù)感”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用

譚耀生

摘 要：數(shù)感是創(chuàng)新思維活躍的一種表現(xiàn)，它既是發(fā)明創(chuàng)造的先導(dǎo)，也是百思不得其解后突然誕生的碩果，在解題過程中，有著重大的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)感 學(xué)習(xí) 作用

【中圖分類號(hào)】G633.6

數(shù)感，簡單的說，感覺就是直接的領(lǐng)悟和洞察。嚴(yán)格地說，感覺是在實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，對事物迅速識(shí)別、判斷，進(jìn)而做出大膽地猜想、合理的假設(shè)，并做出試探性的結(jié)論的一種思維形式。數(shù)感是百思不得其解后突然誕生的碩果，在解題過程中有重要的作用。

一、數(shù)感提供巧解的方案

在分析和解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，若能恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用數(shù)感意識(shí)思維，可以從所提供的材料中產(chǎn)生頓悟，誘發(fā)靈感，發(fā)現(xiàn)解題的簡潔途徑。

例1：計(jì)算11×2 + 12 ×3 + 13×4 + ……+ 12002×2003

分析：這一計(jì)算題，若按先算乘除后算加減來計(jì)算，則比較復(fù)雜。若仔細(xì)觀察，則可發(fā)現(xiàn)11×2 = 1- 12 ，12 ×3 = 12 - 13 ， 13×4 = 13 - 14 ，……，12002×2003 = 12002 - 12003 ，由感覺可感知，分解之后，從第二項(xiàng)起，前一項(xiàng)與下一項(xiàng)的和恰好為0，可迅速求解，省去多位數(shù)字相乘、通分相加的麻煩。

解：11×2 + 12 ×3 + 13×4 + ……+ 12002×2003

= （1- 12 ）+ （ 12 - 13 ） +（ 13 - 14 ） +……+ （12002 - 12003 ）

= 1- 12003

= 20022003

例2：解方程x+10 + x-11 =7

分析：這是一道無理方程的題目，按常規(guī)解法，應(yīng)兩次平方化為整式方程來解，比較繁瑣。如仔細(xì)觀察，注意根號(hào)內(nèi)式子的特征，數(shù)學(xué)意識(shí)感覺使用換元法解此題。

解：令x+10 = A，x-11 = B

則 A + B=7 ①

A2-B2 =21 ②

由①、②得A-B=3 ③

由①、③得A=5 即x+10 =5

∴x=15

面對一個(gè)數(shù)學(xué)問題，我們前面有許多路可走，但走哪一條？往往要靠感覺。感覺幫助我們找到簡潔的解題途徑

二、數(shù)感提高解題的目標(biāo)意識(shí)

杰出的數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠可以接近它的方向去攻擊堡壘。”面對一個(gè)數(shù)學(xué)問題，我們前面有許多條路可走，但是怎樣預(yù)見解題的起步方向呢？往往要靠感覺。

例3：已知△ABC中，BC=20，AB+AC=50，求中線AM的最小值。

分析：本題可根據(jù)所給條件建立函數(shù)關(guān)系式，最后轉(zhuǎn)化為求有條件的極值，但計(jì)算較復(fù)雜。若感覺到此題的已知條件與橢圓定義的關(guān)系，則可有 2c=20 2a=50 => b=521 再由橢圓的幾何性質(zhì)推知，AM 的最小值為短半軸長，所以AM的最小值為 521 。

解：（略）。

這個(gè)例子都是通過數(shù)感幫助我們走出迷霧，找到解題方向，有的從已知條件入手，有的從感覺猜測問題的結(jié)論出發(fā)。由于運(yùn)用數(shù)感的猜測和想象會(huì)“提出一些天才的思想，預(yù)測到一些后來的發(fā)現(xiàn)，但也會(huì)說出十分荒唐的見解。”所以在猜測結(jié)論后，還要組織邏輯證明。

三、數(shù)感使抽象問題直觀化

數(shù)感對數(shù)學(xué)的某些定義、定理、方法能做到洞察其直觀背景，把十分抽象的內(nèi)容變成頭腦中直觀而淺顯的東西。

例5：已知sinx>tgx>ctgx，在[- π2 ， π2 ]中，求x的取值范圍。

分析：這是一道抽象的三角函數(shù)的題目。數(shù)感

意識(shí)到若將sinx、tgx、ctgx在[- π2 ， π2 ]

的圖象作出，則可求解。如圖1。

從圖中可看出x的取值范圍為（- π4 ，0）。

例6：已知圓周上有6個(gè)等分點(diǎn)，求以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)。

分析：乍看此題，感覺便告知作出圖形則可解，如

圖2。因?yàn)榇?個(gè)點(diǎn)將圓周等分，所以對稱兩點(diǎn)的連線

過圓心，如BE。則 ABE、 FBE、 CBE、 DBE為直角三角

形，即過直徑BE有4個(gè)直角三角形。同樣過直徑CF、AD

也分別有直角三角形。所以所求個(gè)數(shù)應(yīng)為12。 圖2

由此可見，感覺能將抽象的概念、問題變成直觀而淺顯易懂的圖象，使我們易于把握問題，解決問題。

一個(gè)人的數(shù)學(xué)思維，判斷能力的高低主要取決于數(shù)感意識(shí)能力的高低。徐利治教授指出：數(shù)感意識(shí)是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)感意識(shí)也是不斷提高的。數(shù)感意識(shí)是可以通過訓(xùn)練提高的。與此同時(shí)，學(xué)生數(shù)感的建立是一項(xiàng)長遠(yuǎn)的工程，不是一朝一夕所能完成的，對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，我們要努力鉆研教材，創(chuàng)造性的運(yùn)用教材，培養(yǎng)、發(fā)展和強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)感。隨著數(shù)感的建立、形成、發(fā)展和強(qiáng)化，學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素質(zhì)一定會(huì)有所提高。

參考文獻(xiàn)：

1、任樟輝 《數(shù)學(xué)思維論》 廣西教育出版社

2、馮克誠 《中學(xué)數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)與思維方式訓(xùn)練――數(shù)學(xué)卷》 內(nèi)蒙古大學(xué)出版社