動直角+定圓=輕松求線段最值

董浙南

在九年級的中考復習中，動點問題一直都是重點題型，而且常常以壓軸題的位置出現，它蘊含著豐富的數學思想方法，需要學生具備良好的解題技巧和能力。而學生卻因為找不到動點中的不動點，畫不出運動軌跡，所以就找不到突破口。動直角是動點問題中的冰山一角，所謂“動直角”，是指角的頂點位置按照一定的規律軌跡在運動，并且角度始終是直角。所以，我們要解決利用動直角求線段的最值，首先要準確無誤地畫出該動直角頂點的運動軌跡（定圓），然后以不變應萬變。但是要找到其中的不變，找到解決問題的突破口，對于學生來說，的確是件不容易的事。下面我僅從教學中遇到的幾題提煉出其中一個類型，來闡述一種解題的教學方法。

例1 如圖1，在平面直角坐標系中，將30°的三角尺的直角頂點O放在坐標原點，其斜邊兩端點A，B分別在x軸、y軸上，且AB=12cm。點C是平面內的一個動點，始終滿足∠ACB=90°，求點C與點O之間距離的最大值。

學情分析：一般情況下，往往讓我們求兩點間距離的最小值，可以利用“兩點之間線段最短”，也可以利用“垂線段最短”，但本題卻求兩點間距離的最大值。常規做法：用二次函數的形式來表示該兩點間的距離，利用二次函數的最值來求解。可是，本題如若用函數思想來完成，學生幾乎不知道該令什么是自變量，所以毫無頭緒。

考點：圓周角定理；直角三角形斜邊上的中線；兩點之間線段最短。

分析：雖然點C是動點，但∠ACB=90°這個條件始終不變。利用“90°的圓周角所對的弦是直徑”這一定理，從而找到一個以AB為直徑的定圓，而點C的運動軌跡恰巧在該圓上。

解：如圖2，∵∠ACB=∠AOB=90°

∴點C，O都在以AB為直徑的圓D上

∴CO是圓D的一條弦

即當CO為直徑時，CO最大

此時CO=AB=12cm

當然，利用三角形的“兩邊之和大于第三邊”也可以解決。取AB中點D，連接CD與OD，因為CD=OD=6，所以當C、D、O三點共線時CO最大，等于12cm

總結：解決本題的關鍵在于能夠找到點C在運動變化中的不變，并借助圓或三角形的有關知識點來解答問題，學生看到這樣一個圓，問題就迎刃而解，充分體現數學中圓的四兩撥千斤之功效。

例2 如圖3，在邊長為■的正方形ABCD中，動點F，E分別以相同的速度從D，C兩點同時出發向C和B運動（任何一個點到達即停止），在運動過程中，求線段CP的最小值。

學情分析：一般情況下，求一條線段的最小值都是利用“垂線段最短”或是“兩點之間線段最短”等知識點來解決的，但這道題利用以上兩個常用的知識點無法解決，學生甚至都找不到不變的量，找不到CP最小時的位置，關鍵在于畫不出點P的運動路徑。

考點：圓周角定理；全等三角形的判定與性質；正方形的性質；點與圓的位置關系。

分析：首先對于即將參加中考的學生來說，看到圖3，根據長期的解題經驗，他們肯定可以得到△ABF≌△BCF，從而得到AE與BF垂直且相等，也就是說∠APB=90°恒成立。這樣此題就比較明朗了，點P一定在以AB為直徑的半圓上（如圖4），當A、P、C三點共線時CP最小。

解：由題意得：BE=CF

∵AB=BC，∠ABE=∠BCE=90°

∴△ABE≌△BCF

∴∠BAE=∠CBF

∵∠CBF+∠ABF=90°

∴∠BAE+∠ABF=90°

∴AE⊥BF

∴∠APB=90°

即點P在以AB為直徑的半圓O上，如圖4

當點O、P、C三點共線時CP最短，等于OC-OP

此時CP=■-■

總結：本題的關鍵在于點P的運動軌跡，一旦朝這個方向想了，并且畫出了準確的圖，動中求靜，使學生充分感受到解決動點問題的實質是變動為靜、尋找不變的量。

例3 （2015年武漢市中考第10題）如圖5，△ABC，△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC，EF的中點，線段AG，FC相交于點M。當△EFG繞點D旋轉時，線段BM的最小值是（）

A.2-■ B.■+1

C.■ D.■-1

考點：圓周角定理；相似三角形；等腰三角形。

分析：先考慮讓△EFG和△BCA重合，然后把△EFG繞點D順時針旋轉，聯結AG、DG，根據旋轉角相等，旋轉前后的對應線段相等，容易發現∠ADG=∠FDC，DA=DG，DF=DC，故∠DFC=∠DCF=∠DAG=∠DGA。又根據等腰三角形的“三線合一”可知∠FDG=90°，所以∠DFG+∠DGF=90°，即∠DFC+∠CFG+∠DGF=90°。所以∠AMC=∠MGF+∠CFG=∠AGD+∠DGF+∠CFG=∠DFC+∠DGF+∠CFG=90°。故點M始終在以AC為直徑的圓上。

解：連接AD，DG，

由等腰三角形的“三線合一”得：∠ADC=∠FDG=90°

∴∠ADG=∠CDF

∵AD=DG，DF=DC

∴△ADG∽△FDC

∴∠DFC=∠DGA

∵∠DFC+∠MFG+∠DGF=90°

∴∠DGA+∠MFG+∠DGF=90°

即∠AMC=90°

∴點M一定在以AC為直徑的圓上

即BM最小=BP=BO-OP=■-1

故答案為D。

總結：本題的關鍵在于∠AMC=90°恒不變。對于此題，我們還可以求出BM的最大值。其實，利用三角形的三邊和差關系求某條線段的最值問題是比較常見的。

從這三道題中我們可以看到，要解決這種隱含動直角的題，就必須找到題目中所隱含的那個定圓，然后利用“90°的圓周角所對的弦是直徑”這一圓周角定理的推論，可以輕松畫出動直角頂點的運動軌跡，然后解決動直角問題，求出題意中所求線段的最值，這種方法往往和“兩點之間線段最短”一起結合著用，達到事半功倍的效果。

數學也可以有優美的弧線，圓就是最美麗的圖案。從動直角找到定圓，最后求出線段的最值，這就是一個動中找靜的過程，它蘊含著豐富的數形結合、分類轉化等數學思想方法，需要我們師生共同努力，譜寫更加優美的思維閃光點。

（作者單位：浙江省余姚市三七市鎮初級中學）