淺析“類似人船模型”問題的求解方法

王永源

“人船模型問題”是力學中動量部分司空見慣的問題，可有一些問題從表面上不易看出屬于“人船模型”問題，但由于這類問題往往涉及相對運動，不易求解速度之間的關系，所以對于部分學生來講求解和分析此類問題時感覺非常棘手。但由于此類問題本質上是屬于“人船模型”問題，所以采取人船模型問題的求解方法進行解答往往得到事半功倍的效果。現舉例如下：

一、斜面上的情況問題

如圖1所示，質量為M的斜面體長為L，傾角為θ。一個質量為m且可以看作質點的小物塊從斜面體的最高點由靜止釋放，一切摩擦均不計，求小物塊下滑過程中斜面體的位移？

解析：將m和M作為一個系統，系統水平方向不受外力，所以系統水平方向動量守恒。其實這兩個物體組成的系統水平方向屬于“人船模型”，不妨稱之為“類似人船模型”，簡稱為“類人船模型”。

設小物塊在下滑過程中斜面體的位移大小為x，方向是水平向右的。則小物塊在下滑過程中的水平位移大小為L-x，任一時刻m的水平速度為v1，M的水平速度為v2。

由水平方向的動量守恒可得：mv1=Mv2，

設微小時間為Δt，則mv1Δt=Mv2Δt，m？鄱（v1Δt）=M？鄱（v2Δt），即m（L-x）=Mx，所以x=■。

即小物塊下滑過程中斜面體的位移大小為■，方是水平向右的。

二、豎直方向上的情況問題

如圖2所示，氣球和梯子用不可伸長的繩子連接，總質量為M，質量為m的人站立在梯子的最下端，懸在空中靜止不動。不考慮刮風的情況，若此人沿梯子向上爬的距離為L，最后仍站立在梯子上。求在此人向上爬的過程中梯子的位移？

解析：將氣球、繩子、梯子和人作為一個系統，豎直方向合外力為零，所以豎直方向動量守恒，其實質屬于豎直方向的“類人船模型”問題。

設此人在向上爬的過程中梯子的位移為x，方向豎直向下，則人豎直向上的位移為L-x，任一時刻m的豎直速度為v1，M的豎直速度為v2。

根據豎直方向上動量守恒可得：mv1=Mv2，

設微小時間為Δt，則mv1Δt=Mv2Δt，

m？鄱（v1Δt）=m？鄱（v2Δt），即m（L-x）=Mx，所以x=■。

即在此人向上爬的過程中梯子的位移大小為■，方向豎直向下。

三、一般情況問題

1.如圖3所示，光滑水平桿上套一質量為M的環，現用一長度為L且不可伸長的輕質細繩將環與一質量為m可視為質點的小球相連接。將小球拉至與環等高且細繩被拉直時由靜止釋放，不計空氣阻力。求小球運動到最低點的過程中環的位移？

■

解析：將環、細繩和小球作為一個系統，水平方向不受外力，所以水平方向動量守恒，其實質屬于水平方向上的“類人船模型”問題。

設小球從釋放到運動至最低點的過程中環的位移為x，方向水平向右。則小球在水平方向上的位移大小為L-x，任一時刻m的水平速度為v1，M的水平速度為v2。

根據系統水平方向上的平均動量守恒得：mv1=Mv2，

設微小時間為Δt，則mv1Δt=Mv2Δt，m？鄱（v1Δt）=M？鄱（v2Δt），即m（L-x）=Mx，所以x=■。即小球運動到最低點的過程中環的位移大小為■，方向是水平向右的。

2.如圖4所示，質量為M帶有半徑為L的半圓光滑凹槽靜止在光滑的水平面上，一個質量為m可視為質點的小球從槽的右邊緣最高點由靜止釋放。求小球第一次運動到最低點時凹槽的位移？

解析：將小球和凹槽作為一個系統，水平方向不受外力，所以水平方向動量守恒，其實質屬于水平方向的“類人船模型”問題。

設小球從靜止釋放到運動至最低點的過程中凹槽的位移大小為x，方向水平向右。則小球在此過程中水平方向的位移大小為L-x，任一時刻m的水平速度為v1，M的水平速度為v2。

根據系統水平方向的動量守恒可得：mv1=Mv2，

設微小時間為Δt，

則mv1Δt=Mv2Δtm，

m？鄱（v1Δt）=M？鄱（v2Δt），即m（L-x）=Mx，所以x=■。即小球第一次運動到最低點的過程中凹槽的位移大小為■，方向水平向右。

總之，我們在學習過程中要善于總結和歸納，采取類比和分析的方法對遇到的問題從本質深處挖掘信息，才能做到舉一反三，從而達到多題一解的效果。

（作者單位：河南省鄭州外國語楓楊高中）