基于學生思考下的角平分線定理的證明

邵偉河

在課堂上教師惜時如金，喜歡多講一些知識點，面面俱到，唯恐哪里落下，但效果往往不盡如人意，常有“此題講了十幾遍了，還是做不對”的怨言。究其原因，教師的思維與學生的思維不在同一戰(zhàn)線上，沒有形成合力，甚至反之，其效果如何可想而知。教師要善于懂得學生的思維，且善于切入學生的思維，并給予他們足夠的時間，讓他們真正思考起來或許有意外的驚喜與收獲，下面結合實例談談。

帶著一個很老的例題，幾個解法，準備一節(jié)課的時間，進入課堂。

如圖1，AD為△ABC的角平分線，AB>AC，求證：■=■。

說明：本題是舊浙教版教材當中的角平分線定理，條件與結論簡潔明了，很會激發(fā)學生的求知欲。現(xiàn)已刪掉，本人覺得很可惜，上課時常拿出來給學生練練。初二學生可練，初三學生也可練，甚至初一學生也可練，關鍵是看教師的教學目的是什么，定位了該題的功效。

2009學年接的初一學生，一直帶到初三畢業(yè)，真正的知根知底。初一的時候，由于學了高、面積與角平分線的概念，出于對這方面知識的鞏固與拓展，故出示了該題。經教師的引導啟發(fā)下用面積的方法解決了此題，對初一學生來說，該題已夠難了。時隔兩年，已到初三了，因剛學了新浙教版《相似三角形》這一章，出于對平行相似概念的理解與鞏固，故技重施再次出示該題，不拘泥于任何方法，任憑學生天馬行空，展開想象的翅膀。經學生充分思考后得出：

生1：如圖2，過B作BE∥AC交AD延長線于E，因BE∥AC，可證：△ADC～△BDE，∴■=■，又BE∥AC，AD平分∠BAC，∴∠BEA=∠DAC，∠BAD=∠DAC，∴∠BEA=∠BAD，∴BE=AB，■=■。

師：你是怎么想的？

生1：四條線段成比例，首先看有沒有兩個三角形相似，但現(xiàn)成的沒有，而添平行線可構三角形相似，自然想到添平行線法。右側比例式不動，過B作BE∥AC，交AD延長線于E，可得△BDE～△ACD。

師：利用了平行線構造了Z字形的相似模型，解決了這個問題，非常好！

經統(tǒng)計想到此方法的學生占多數(shù)。

師：還有其他解法嗎？

生2：如圖3，因為AB>AC，∴在AB上截取AE=AC，聯(lián)結ED，過B作BF∥ED交AD延長線于F，可證：△AED≌△ACD，∴ED=DC，∠ADE=∠ADC，又ED∥BF，∴△AED～△ABF，∴△ACD～△ABF，∴■=■，又DE∥BF，∴∠ADE=∠BFD，且∠ADE=∠ADC=∠BDF∠BDF=∠BFD，∴BF=BD，∴■=■。

分析：在生1添平行線思路的啟發(fā)下，構造了A字形相似模型，利用全等、等腰三角形進行線段、角的等量代換，證得結論成立。

生3：如圖4，因為AB>AC，∴在AB上截取AE=AC，可證：△AED≌△ACD，∴DE=DC，∠ADE=∠ADC，作EF∥BC，∴∠EFD=∠ADC，∴∠ADE=∠EFD，∴ED=EF，因為EF∥BC，∴△AEF～△ABD，∴■=■，∴■=■。

分析：與生2相比較，在△ABC內部作平行線構造A字形相似模型，生2與生3方法有異曲同工之妙。

生4：如圖5，過點B作DE⊥AE于E，過點C作CF⊥AE于F，可證：△BED～△CFD，△ABE～△ACF，∴■=■，■=■，∴■=■。

分析：生4另辟思路，作垂線，構造兩對三角形相似，通過兩次相似，證得結論成立，為師眼前一亮，其他同學也為之嘆服，受其鼓舞繼續(xù)積極投入思考當中。

生5：如圖6，在AD上取點E，聯(lián)結CE，過B作BF∥CE，可證：△BFD～△CED，∴■=■，可證：■=■，∴■=■。

分析：在生4的啟發(fā)下，更一般性地在AD上取一點E，通過添平行線構造Z字形相似模型，思路更顯通性通法。但（BF/CE）=（AB/AC），為什么相等？等式的出現(xiàn)有點唐突，一再追問，說不出所以然，勉強認為△ACE～△ABF，但這兩個三角形真的會相似嗎？又是屬于哪種判定呢？似乎條件又不夠。但與所求證的結論比較，（BF/CE）=（AB/AC）一定成立，思路僵住了。可望又不可及，學生被其強烈地吸引著，終于被生6打破了僵局。

生6：如圖7，在AD上取一點H，聯(lián)結CH，使得CH=CE，∴∠CEH=∠CHE，又因為CE∥BF，∴∠F=∠CEH，∴∠F=∠AHC，且∠BAF=∠DAC，∴△ABF～△AHC，∴■=■，■=■，∴結論成立。

此時學生紛紛鼓掌，為生6巧妙解法折服。正在這時生7提出質疑：你怎么保證做出的CH=CE呢？若∠CED是鈍角又怎么辦？

生6：用圓規(guī)以C為圓心，CE為半徑畫弧交AD即可。

太精彩了，學生的智慧得到了充分發(fā)揮。

師進一步啟示：“剛才同學們所用的方法都是從相似的角度來思考，能否不用相似來試試。”話音剛落——

生8：過C作CE∥AD交BA延長線于E，∴∠DAC=∠ACE，∠BAD=∠EAD平分∠BAC，∴∠ACE=∠E∴AC=AE，又∵AD∥CE，■=■，∴■=■。

分析：真是太聰明了！居然從△ABC的圖形上部入手，還是添平行線法，實際上用了平行線分線段成比例的定理獲得結論成立。當然，過B作AD的平行線也可，方法類同。至此證明此題所用的方法有六種之多，均采用平行相似的方法，唯獨沒想到面積之法，作為教師既欣喜又著急，欣喜的是用平行相似的方法學生居然想出那么多，真是意料之外，可見集體的智慧是不可忽視的，著急的是面積之法怎么想不到。

師終于按捺不住：“剛才大家所用的均是從平行相似的方法來解決的，能否不用這個方法來試試。”

經這么一提醒，終于有學生從面積的方法來解決——

生9：過D作DE⊥AB于E，DE⊥AC于F，

■=■，■=■=■，∴■=■，∴結論成立。

當然，本題也可用三角函數(shù)來解決，由于課堂時間有限，這里不再介紹。就這么一節(jié)課，讓我感慨萬千：

第一，方法之多。學生為什么會想出那么多方法，備課之前本人也沒有想到那么多，值得深思。我們的教學是否必要面面俱到，這樣是否束縛了學生的思維，作為教師更應該為學生營造一個良好的學習氛圍與平臺，寬松民主的課堂環(huán)境至關重要。鼓勵每一位學生大膽、積極發(fā)言，百家爭鳴，思維的火花在碰撞中激發(fā)。每一位教師都很珍惜課堂時間，我們應該把更多的時間讓給學生，保證學生充分思考的時間。

第二，選題要精簡。本例題的條件與結論簡潔明了，避開煩瑣冗長的熬述，起點低，讓每一位同學均可躍躍欲試，將會激發(fā)學生強烈的解題欲望。

第三，遺憾的面積法。問學生怎么沒想到面積法，學生齊聲回答：“最近一直在學相似三角形。”是啊，學生最近所學的是相似三角形，首先想到的是相似方法，這也是很自然的，也就是所謂的“最近發(fā)展區(qū)”。其實我們思考問題均是從最近發(fā)展區(qū)考慮，當然學生固有的經驗知識也不可忽略。

第四，縱有方法之多，萬變不離其宗，均圍繞平行線、角平分線做文章。

經提煉：（1）角平分線與平行線的組合模型：

AC平分∠BAD，AD∥BE？圯AC=BC，如圖10（學生2采用就是這種方法）

■

AE平分∠DAC，AE∥BC？圯AB=AC（如圖11），（學生8采用的就是這種方法）

（2）相似模型：

■

（3）指導思想：把分散的線段集中在同一直線上或平行線上，利用平行線分線段成比例解決。

本題涉及七種方法，其中前六種把平行相似的方法發(fā)揮得淋漓盡致，學生自覺不自覺地運用了上面相似模型及平行線與角平分線組合模型。盡管生5的方法有點復雜，證明時也遇到障礙，但其從生4的啟發(fā)下，創(chuàng)造性地從上通法考慮，值得點贊，說明學生已有一定的通性通法的思考意識，思維上了一個層次。生8從圖形上部添輔助線，眼前為之一亮且方法簡潔。事實說明：給予學生足夠的思考時間，學生會有各種意想不到的妙想，集體的智慧是很強大的。

（作者單位：浙江省寧海力洋鎮(zhèn)中學）