由“平面鋪陳”到“立體延展”
———《立體圖形體積計算復習》教學片斷與說明

顧　健　程茂山（特級教師）

【教學內容】

蘇教版六年級下冊第92頁。

【教學過程】

復習課是幫助學生將知識串點成線、構建體系、融會貫通、發展思維的重要課型。通過復習，如何讓學生在舊知基礎上實現經驗再造？如何讓學生在建立了良好網狀知識結構前提下實現平面知識的立體延展？我們進行了探索。

一、前測診斷，自主梳理

題目一：用畫圖或填表的方式整理立體圖形體積計算公式。

附表：

立體圖形名稱　體積計算公式長方體V=正方體圓柱圓錐

師：通過整理，你發現這些圖形的體積計算公式有什么異同點？

題目二：你會計算這兩個圖形的體積嗎？請用圖示或文字進行說明。

圖1　

圖2　

【片斷1】

1.回顧基礎知識。

師：在小學階段，我們認識了哪些立體圖形？

生：長方體、正方體、圓柱和圓錐。

師：這些立體圖形的體積計算公式怎么表示？

2.回顧體積計算公式推導過程。

師：在課前整理時，我們重點回顧一下立體圖形的體積計算方法。（揭示課題）

呈現要求：

（1）在小組內交流各自整理的內容。

（2）互相說一說不同圖形體積計算公式的推導過程。

師：請派一名小組代表說一說各個圖形體積計算公式的推演過程。

（教師根據學生的描述用動畫直觀演示）

生：長方體的體積公式是通過拼、擺1cm3的小正方體得到的。先數長上擺幾個，再數寬上擺幾個，最后數高上擺幾個，三個數據相乘的積就是長方體的體積。

師：計算長方體的體積可以轉化成體積單位的個數直接計量而來，那么正方體呢？

生：正方體體積公式由長方體體積公式推導而來，因為正方體是特殊的長方體。

生：計算圓柱的體積是通過割補法將圓柱體轉化為近似的長方體。

師：數學上把這種轉化稱為“等積變形”。圓錐的體積計算公式呢？

生：先將水注滿圓錐體容器，然后倒入等底等高的圓柱體容器內，正好三次倒滿。

師：這也是轉化，我們發現圓錐體積是等底等高圓柱體積的三分之一。

師：根據這樣的理解，請用箭頭表示出圖形之間體積計算的關系。

【說明：依據前測，第一題86%的學生都能畫示意圖或借助表格寫出各立體圖形相應的體積計算公式，也能歸納出長方體、正方體和圓柱體三個圖形都可以用“底面積×高”進行計算。而第二題僅有18%的學生能給出初步的解決方案，說明六年級的學生還處于直觀思維階段，對于五棱柱、三棱錐只有散點、孤立的認識，缺乏運用合情推理去解釋立體圖形性質之間的關系。教師在這一教學片斷中，安排了三個層次。首先，通過課前自主整理、回憶提煉、舊知重現，讓學生對立體圖形的體積計算公式形成記憶表象。然后，在學生獨立整理基礎上，組內交流互為補充并由代表向全班匯報。教師結合學生的描述同時借助媒體的直觀演示，使學生對立體圖形計算公式之間的推導過程與轉化思想（演繹、拼擺、實驗）有了更明晰的認識。最后，將自主整理過程中不完善的知識脈絡，在比較與縱橫聯系中不斷完善，并用符號架構有效地認知結構，內化為個人知識網絡。】

二、重構知識，構建網絡

【片斷2】

師：圓柱與圓錐兩個立體圖形與平面圖形有關嗎？

生：有，圓柱可以通過長方形旋轉得到的，圓錐可以通過直角三角形旋轉形成。

動態演示：

師：圓柱還可以看成是什么平面圖形通過怎樣的運動形成的？

生：圓形平移形成的。

師：是這樣嗎？（動態演示）最初的圓形就是圓柱的底面，垂直向上平移的距離是圓柱體的高。長方體和正方體可以用運動的觀點解釋嗎？

動態演示：

生：長方形垂直平移形成長方體，正方形垂直平移形成正方體。

師：有了這樣的共同特征，它們的體積都可以怎么表示？

生：都可以用“底面積×高”表示。

生：長方體、正方體還可以看作左（右）側面向右（左）平移得到。

師：你很善于聯想。這種平移方法在計算長方體的體積時，左側面相當于長方體的底面，水平移動的距離相當于長方體的高。

師：那么，圓錐可以看作平移得到嗎？

動態演示：

師:看了這樣的變化，你想到了什么？

生：圓錐也可以看作底面的圓形垂直向上平移，圓越來越小最后變成了一個點。

師：有了這樣的認識，我們就可以解決一些看似復雜的問題。比如，六年級上冊的一道思考題。

教材六年級上冊第15頁：你能根據正方體的體積來估計右邊物體的體積嗎？

師：如果想知道這個物體的體積，需要知道哪些條件？

生：只需要知道“L形”的底面面積和高。

師：這個圖形可以看作“L形”平面圖形垂直平移形成的立體圖形。運用這個方法可以解決生活中的實際問題，如蓄水池與橫截面，如圖所示：水池的長為2千米，如果這個水池蓄滿水，一共蓄水多少立方米？

【說明：教師引導學生從圖形觀察的“靜態視角”轉向“運動視角”，勾連“二維平面圖形”與“三維立體圖形”間的關系，這些立體圖形都可以看作底面垂直平移形成。此時，學生在大腦中建構了“平面圖形”與“立體圖形”清晰的轉化過程，從根源上理解了這些立體圖形的體積計算都與“底面積、高”相關。有一位學生更是舉一反三的指出：長方體可以通過側面的長方形水平運動而得到。教師在讀懂學生的直覺遷移邏輯后，將側面平移與底面平移兩種情況進行分析、比較，使學生對體積計算方法有了更靈活的理解，從整體上對體積計算方法有了本質把握。最后，教師聯系上冊教材與生活實際，讓學生利用平移的觀點解決問題。從解題過程來看，學生在變化的圖形中找到了不變的規律，它們都是由某一個平面圖形平移形成。這時，學生頭腦中零散的知識逐漸被同化，對“形”與“體”辯證的認識進一步明晰。】

三、合情推理，提升思維

【片斷3】

師：你還能舉幾個平面圖形通過平移形成立體圖形的例子嗎？

生：底面是五邊形、六邊形的圖形。

師：是這樣嗎？（課件演示：五邊形、六邊形垂直平移形成的五棱柱、六棱柱）像這樣的立體圖形在數學上稱之為——直柱體。

師：隨著底面邊數的不斷增加，越來越接近什么圖形？

生：圓柱。

師：它們的體積怎么計算？

生：都可以用“底面積×高”來計算。

師：那么，底面圓形通過垂直平移并不斷縮小形成圓錐。類似這樣的圖形，還能找出幾個嗎？

生：底面可以是三角形、四邊形……

師：數學上稱這些圖形為——錐體。你能猜測下它們的體積計算公式嗎？

師：理由是？

生：圓錐是等底等高圓柱體積的三分之一。

師：這是合理的推測，錐體體積確實是相對應的等底等高直柱體體積的三分之一，課后可以通過實驗或查閱相關資料進行驗證。

【說明：學生通過對“面→體”的直觀演示，以原有長方體、正方體和圓柱體積計算的經驗為基礎，進一步體悟用“V=Sh”計算直柱體體積的合理性。同時，由圓錐體積公式的推導過程進行聯想和合情推理，一步步地逼近錐體體積的計算方法。這一螺旋上升的認識過程，不僅僅是知識的延展，更是對立體圖形體積計算方法的知識結構的完善。上述片斷中，教師還利用課件演示了底面正多邊形“有限條數”直至“無窮”，最后收斂到極限的圖形是圓柱和圓錐。在這過程中，教師向學生適時滲透“化曲為直”的極限思想。此時，學生已經打破思維禁錮，跳出有限的幾何觀念，形成無限的幾何觀念，對錐體、直柱體有了序列化的判斷，進一步拓寬了數學空間觀念。】

四、拓展應用，內化關聯

【片斷4】

師：我國古代勞動人民早在2000多年前，就會計算不同形狀物體的體積。《九章算術》中記載的圓柱體積計算方法是“周自相乘，以高乘之，十二而一”，這種算法與現在的算法一致，但略有區別，你能找到嗎？

生：古人是把π看作近似值3。

師：不得不佩服古人的智慧！老師在翻閱《九章算術》時，還看到一類圖形的計算方法——“方自乘，以高乘之，即積尺”，你能猜出它是計算哪種圖形的體積嗎？

生：可能是長方體。

師：能具體說一說嗎？

生:“方自乘”就是長乘寬，可以計算底面是長方形或正方形的面積，“以高乘之”就是乘以高。

師：對！借助這樣的經驗，我們還可以探索古人對圓錐體積的計算方法。

【說明：數學史是前人知識與思想的積淀。課堂中適度滲透有利于學生對數學概念、方法的理解。在課末，教師摒棄數學符號的簡單復制，不是將數學史作為課堂的簡單附加，而是將古人對圓柱體積的計算方法與現在的計算方法進行對比，讓學生在重構過程中感受數學思維的“一脈相承”。并以此為起點，為學生探究圓錐體積提供了方向。】