透視幾何概型應用中的易錯點

廣西壯族自治區柳江中學(545100) 楊藝

透視幾何概型應用中的易錯點

廣西壯族自治區柳江中學(545100) 楊藝

“幾何概型”是新課程新增加的內容之一,數學課程標準將其定義為：信息化的現代社會,統計和概率的基礎知識已經成為一個未來公民的必備常識,要求學生“初步體會幾何概型的意義,會進行簡單的幾何概率計算”.幾何概型概念的理解,重在對試驗的正確建模和幾何度量的選擇.在運用概念解題時,我們應注意不同的說法既可能是概念多樣性的不同表述,但也可能導致對概念的本質理解產生偏差,也影響對幾何度量的選擇.因此,區別古典概型和幾何概型,透視幾何概型應用中的易錯點有利于學生正確理解和掌握幾何概型.

一、幾何概型的定義與特點

(一)幾何概型的定義如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型.

(二)幾何概型的特點(1)無限性,即一次試驗中,所有可能出現的結果(基本事件)有無限多個;(2)等可能性,即每個基本事件發生的可能性均相等.

(三)幾何概型的計算公式在幾何概型中,事件A的概率的計算公式如下：

說明(1)事件A可以理解為試驗的全部結果所構成的區域Ω的某一子區域,事件A的概率只與區域A的度量(長度、面積或體積)成正比,而與A的位置和形狀無關.(2)用幾何概率公式計算概率時,關鍵是構造出隨機事件所對應的幾何圖形,并對幾何圖形進行度量.

二、古典概型和幾何概型的聯系和區別

(一)古典概型和幾何概型的聯系每個基本事件發生的都是等可能的.

(二)古典概型和幾何概型的區別(1)古典概型的基本事件是有限的,幾何概型的基本事件是無限的;(2)兩種概型的概率計算公式的含義不同.

三、幾何概型的應用中的易錯點

(一)對幾何概型中試驗區域的理解誤區

例1(2009山東卷?文理)在區間[-1,1]上隨機取一個數x,的值介于0到之間的概率為( ).

點評根據幾何概型的定義,在區間上隨機取任何一個數都是一個基本事件.所取的數是區間的任意一個數,基本事件是無限多個,而且每一個基本事件的發生都是等可能的,因此事件的發生的概率只與自變量的取值范圍的區間長度有關,符合幾何概型的條件.例1中構成事件區域的元素是自變量x的取值范圍,而不是的取值范圍,所以解法二是正確的,解法一是錯誤的.

例2.若實數a,b滿足a2+b2≤1,則關于x的方程有實數根的概率是( )

解法一關于x的方程有實數根等價于Δ≥0,即a2-3b2≥0.從而對應區域分別如圖1和2所示,面積分別為所以所求概率為

圖1

圖2

圖3

圖4

點評例2中構成事件區域的元素是數對(a,b),而不是(a2,b2),所以解法一是正確的,解法二是錯誤的.

小結導致這兩個題目錯解的共同原因是都是因為通過變換改變了原來區域的大小,而且在改變過程中前后區域大小的比例不同.比如題1中自變量原來的取值區間[-1,1],經過余弦變換后得到的區間是[0,1],變換前后區間長度的比值為2;的取值區間經過逆變換得到區間長度為變換后前的長度比值為題2中圖1和圖3面積之比為2π,圖2和圖4之比為π.

(二)對幾何概型中幾何度量的理解誤區

例3 在0～1之間隨機選擇兩個數,這兩個數對應的點把0～1之間的線段分成了三條線段,試求這三條線段能構成三角形的概率.

在平面上建立如圖所示的直角坐標系,直線x=0,x= 1,y=0,y=-x+1圍成如圖所示三角形區域G,每一對(x,y)對應著G內的點(x,y),由題意知,每個試驗結果出現的可能性相等,因此,試驗屬于幾何概型,三條線段能構成三角形,當且僅當

因此圖5中的陰影區域D就表示“三條線段能構成三角形”,容易求得D的面積為G的面積為則P(這三條線段能構成三角形)=

圖5

圖6

點評本題誤把長度看作幾何度量.

例4如圖6所示,在等腰直角△ABC中,過直角頂點C在∠ACB內部做一條射線CM,與線段AB交于點M,求AM＜AC的概率.

分析當AM=AC時,有∠ACM=∠AMC,故欲使AM＜AC,應有∠ACM＜∠AMC,即所作的射線應落在∠ACM=∠AMC時∠ACM的內部.

點評本題所求事件的本質是在∠ACB內部做一條射線CM,所構成的區域是一個“角”域,故應屬于幾何概型中的角度之比類型;本題極易易犯的錯誤是,用長度的比得出這一錯誤結果.

小結此類題易把構成事件的區域看作長度,關鍵是要搞清每一結果是在什么區域內產生的.例3的幾何度量為面積,而不是長度.例4根據在∠ACB內部作一條射線CM可知,射線構成的區域是一個角域,而不是一條線段.

[1]孫福明.“幾何概型”教學必須關注的三個問題[J].高中數學教與學,2012,2.

[2]吳鍔.自然流暢水到渠成—“幾何概型”課堂觀察與點評[J].高中數學教與學,2012,4.