函數思想在不等式比較大小與方程有解問題中的應用

廣東廣雅中學(510160) 賴淑明

函數思想在不等式比較大小與方程有解問題中的應用

廣東廣雅中學(510160) 賴淑明

比較指數、對數式的大小,討論含指數、對數式的方程的根的問題,是高中代數的重要內容,這兩類問題的解決方法有很多,但根源還是函數思想.本文借助五個命題,探索函數思想在比較不等式大小與方程有解問題解決中的應用.

性質1函數g(x)=xx(x＞0)在上單調遞減,在上單調遞增.

性質2 函數g(x)=在(0,e)上單調遞增,在 (e,+∞)上單調遞減.

性質2推論當0＜a＜b＜e時,ab＜ba;e＜a＜b時,ab＞ba.

性質3 f(x)=logx(x+t)(t為常數,t＞0)在(1,+∞)上單調遞減.

例1比較0.70.6,0.60.7,0.70.7,0.60.6,log67,log45六個數的大小關系.

解因為＜0.6＜0.7,所以根據性質1知0.60.6＜0.70.7.因為0＜0.6＜0.7＜e,所以根據性質2推論知0.60.7＜0.70.6.根據指數函數y=0.6x,y=0.7x的單調性知1＞ 0.70.6＞ 0.70.7、1＞ 0.60.6＞ 0.60.7.綜上知0.60.7＜0.60.6＜0.70.7＜0.70.6＜1.因為1＜4＜6,所以由性質3可得：1＜log67＜log45綜上所述可得：0.60.7＜0.60.6＜0.70.7＜0.70.6＜1＜log67＜log45.

例2(2014高考湖北理科卷)π表示圓周率,e= 2.71828···為自然對數的底數．

(2)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3中的最大數與最小數;

(3)將e3,3e,eπ,πe,3π,π3這6個數按從小到大的順序排列,并證明你的性質．

綜上所述,比較兩個數的大小,最終可以轉化為函數單調性問題.解決問題的基本思想就是函數思想,通過構造函數,借助函數的單調性比較兩個數的大小.

性質5當e-e≤a＜1時,方程ax=logax(0＜a＜1)只有1個解;當0＜a＜e-e時,方程ax=logax(0＜a＜1)有3個解[1].

例3判斷下列方程的解的個數.

解因為所以根據性質4知,方程的解的個數是0.因為0＜0.06＜e-e,根據性質5知方程(0.06)x=log0.06x的解的個數是3.

綜合以上分析,性質4適用于判斷型如ax=logax(a＞1)的方程的解的個數,性質5適用于判斷型如ax= logax(0＜a＜1)的方程的解的個數.

求解方程的根的問題,也是求解函數零點的問題.討論超越方程根的個數問題,更多地可以轉化為利用函數性質,研究函數零點個數的問題.

由此可見,抓住函數本質,許多數學解題中的難點問題可以有效突破.

[1]宗敏.對數函數與指數函數圖象的交點個數的再探討[J].考試周刊.2010.3