關于三角形四心的一個幾何不等式

浙江工商大學統計與數學學院(310018) 李冠戩

關于三角形四心的一個幾何不等式

浙江工商大學統計與數學學院(310018) 李冠戩

本文通過對一個定理進行拓展延伸得到一個新的幾何不等式,并運用Gerretsen不等式,歐拉不等式和p-R-r法及三角函數的性質證明了它.

對稱點 三角形內的特殊點 幾何不等式

一、引言

幾何不等式是溝通代數與幾何的重要媒介,它既有幾何的直觀形象,又有代數的邏輯嚴密.文[1]討論了關于三角形內一點作三邊對稱點得到新三角形的方法.

本文借鑒了這種方法,分別取該點為外心,垂心,內心,重心,得到一系列優美簡潔的表達式,并研究了它們之間的不等關系,推導出一個新的幾何不等式.

首先,介紹一個定理,它是我們一切思路的源頭.沈文選在文[1]第98頁例6中證明了如下定理：

定理1 P為△ABC內一點,點P關于邊AB,BC,CA的對稱點分別為P1,P2,P3,則

在這個定理的基礎上,我們分別取P為△ABC的外心,垂心,內心,重心,得到一些漂亮的結果.為了統一起見,避免出現絕對值,下面我們只討論△ABC為非鈍角三角形的情況.

以下是一些必要的符號和記號.

定義1非鈍角中△ABC,記AB=c,BC=a,CA= b,S,R,r,C,p分別為其面積,外接圓半徑,內切圓半徑,周長及半周長,O,H,I,G分別為外心,垂心,內心,重心,記它們關于三邊的對稱點構成的三角形面積分別為SO,SH,SI,SG.

于是由定理1,結合三角形內的特殊點的性質,及平面幾何公式,我們有下面幾個定理成立.

定理2.1 外心O關于三邊的對稱點構成的三角形與原三角形全等.

定理2.2 SH=8S cosAcosB cosC,SI=SG=S,(注：這里的是輪換求和的簡寫,如以下同.)

二、一個引理

為了證明下面的幾何不等式鏈,我們先證明一個引理.

引理(Gerretsen不等式)設R,r,p分別為△ABC外接圓半徑,內切圓半徑,半周長,則16Rr-5r2≤ p2≤4R2+4Rr+3r2

三.新的幾何不等式

根據定理2.2得到的表達式,我們推導證明出下列的幾何不等式鏈.

定理3 SH≤SI≤SG≤S.

再證SI≤SG.由定理2.2及a2=2p2-8Rr-2r2,等價于證p2≥13Rr+r2由引理p2≥16Rr-5r2及R≥2r即證.

最后證SG≤S,由定理2.2及∑a2=2p2-8Rr-2r2,等價于證2p2≤9R2+8Rr+2r2.由引理p2≤4R2+4Rr+ 3r2及R≥2r即證.

本文得到了陳振龍老師的指導與幫助,謹在此表示衷心的感謝.

[1]沈文選.平面幾何證明方法全書[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社,2005.

[2]蘇化明.關于重心的垂足三角形的性質[J].中學數學,1994(3)：10.