例談復合函數零點問題的求解策略

江蘇省丹陽市教師發展中心(212300) 汪正文

例談復合函數零點問題的求解策略

江蘇省丹陽市教師發展中心(212300) 汪正文

問題的提出

復合函數的零點問題是高中數學的一個難點和熱點,不僅涉及到函數的各種性質,蘊含著豐富的數學思想與方法,同時還由于其具有“內”“外”兩層函數的特殊性,從而增添了解題所需的思維難度.對于這類問題,學生普遍感覺難以把握,本文試圖從復合函數的定義、有關零點的命題以及典型題例的剖析著手,從中歸納出解題要領,以饗讀者.

1 復合函數的定義

設函數u=φ(x)的定義域為是A,值域是B;又設函數y=f(u)的定義域是C,且B?C,y∈M,這時對A內每一個x,通過φ,得到B內唯一的一個u與此x對應,再通過f又得到M內唯一的一個y與此x對應.因此對于A內的每一個x先通過φ再通過f,得到M內唯一的一個y與此x對應,這就確定了一個從A到M的函數,稱它是由u=φ(x)與y=f(u)合成的復合函數(也稱嵌套函數),記為y=f[φ(x)].稱u為中間變量,為了敘述方便起見,不妨將u=φ(x)稱為內層函數,稱y=f(u)為外層函數.

2 有關命題與結論

函數的零點問題不僅與函數、方程、不等式、導數等知識交匯融合,同時還涉及“函數與方程”、“化歸與轉化”、“數形結合”、“分類與討論”等數學思想.以下引入上述思想的相關命題,以便為下面的分析與求解提供理論支撐.

命題1函數y=f(x)在x∈D上有n個零點?方程f(x)=0在x∈D上有n個解?方程組在 x∈D上有n組解?函數y=f(x)的圖像與x軸在x∈D上有n個交點(其中n∈N).

命題2函數y=f[g(x)]在x∈D上有n個零點?方程在x∈D上有n個解?方程組中x在D上有n個解(其中n∈N).

命題3若方程f(x)=0有m(m∈N)個不同的實數根x1,x2,···,xm,且方程f(x)=xi(1≤i≤m,i∈N+)有ni(ni∈N+)個不同的實數根,則函數y=f[f(x)]的零點共有(n1+n2+···+nm)個.

證明因為xi是方程f(x)=0的根,所以f(xi)=0,設l1,l2,···,lni為方程f(x)=xi的不同的實數根,所以f(l1)=f(l2)=···=f(lni)=xi,所以l1,l2,···,lni也為方程f[f(x)]=0不同的實數根,即l1,l2,···,lni為y=f[f(x)]的零點.故函數y=f[f(x)]的零點共有(n1+n2+···+nm)個.

命題4若方程f(x)=0有m(m∈N)個不同的實數根x1,x2,···,xm,且方程g(x)=xi(1≤i≤m,i∈N+)有ni(ni∈N+)個不同的實數根,則函數y=f[g(x)]的零點共有(n1+n2+···+nm)個.

證明因為xi是方程f(x)=0的根,所以f(xi)=0,設l1,l2,···,lni為方程g(x)=xi的不同的實數根,所以g(l1)=g(l2)= ···=g(lni)=xi,所以l1,l2,···,lni也為方程f[g(x)]=0不同的實數根,即l1,l2,···,lni為y=f[g(x)]的零點.故函數y=f[g(x)]的零點共有(n1+n2+···+nm)個.

上述命題充分體現了四大數學思想,通過分類討論和數形轉換,不僅為圖像法在解決函數零點問題中的運用提供理論保障,同時還為處理嵌套函數零點問題提供了求解方向,即研究內外層函數零點的情況.

3 典例解析

3.1求零點個數問題

例1設函數則函數y=f[f(x)]-1的零點的個數為___.

解析令f(x)=t,則問題轉化為求方程組

圖1

評注這是一道形如y=f[f(x)]+1型的嵌套函數,c為常數,通過換元解套后,將復合函數零點問題轉化為兩個簡單方程解的個數問題,先由方程②解出t的值或范圍,再代入方程①,數形結合即可求解.

例2已知函數f(x)=x3-3x,設h(x)=f(f(x))-c,其中c∈[-2,2],則函數y=h(x)的零點個數為___.

解析由f′(x)=3x2-3,則在(-∞,-1)上,f′(x)＞0,f(x)單調遞增;在(-1,1)上,f′(x)＜0,f(x)單調遞減;在(1,+∞)上, f′(x)＞0,f(x)單調遞增,則其圖像如圖2所示.令f(x)=t,則方程,由圖2知：

圖2

當c=2時,由方程②解得：t1=-1,t2=2,

當t1=-1時,方程①為f(x)=-1,此時函數y=f(x)的圖像與直線y=-1有3個交點;

當t1=2時,方程①為f(x)=2,此時函數y=f(x)的圖像與直線y=2有2個交點,故當c=2時,函數y=h(x)共有5個零點;

同理,當c=-2時,函數y=h(x)有5個零點;

當0＜c＜2時,由圖2知,方程②有3個根t3,t4,t5,且t3∈(-2,-1),t4∈(-1,0),t5∈(1,2).結合圖2知,函數y=f(x)的圖像與直線y=t3,y=t4和y=t5各有3個交點,故此時函數y=h(x)共有9個零點;

同理,當-2＜c≤0時,函數y=h(x)有9個零點.綜上,函數y=h(x)的零點為5個或9個.

評注本題是2012年江蘇卷最后一題的最后一問,屬于y=f[f(x)]+c型的嵌套函數零點問題,但c為參數,通過換元解套后,將復合函數零點問題轉化為兩個簡單方程解的個數問題.結合圖2,先通過對c的討論,研究方程②中t的個數及范圍,再將t回代到①式,數形結合可得x的個數.

例3 已知函數 f(x)= x3-3x2+1,g(x)=,則方程g(f(x))-a=0(a為正實數)的實根最多有____個.

評注這是一道形如y=f[g(x)]+a型的嵌套函數,且a為參數,需要作出內外層函數的圖像,先結合圖4,對a予以討論得到方程②中t的個數及范圍,再結合圖3,整合可求得方程①中的個數.

例4已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個極值點 x1,x2,若f(x1)=x1＜x2,則關于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同實根個數為____.

解析令f(x)=t,則原方程

由f′(x)=3x2+2ax+b,畫出y=f(x)的草圖5,又x1,x2是函數f(x)的兩極值點,則x1,x2是方程②的兩實根,又f(x1)= x1＜x2,由圖5知：當t=x1時,方程①有2解;當t=x2時,方程①有1解,故原方程共有3個實根.

圖5

評注本題是2013年安徽卷第10題,解決本題的關鍵有兩點：(1)關注到方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0就是把f(x)代入導方程f′(x)=0而得;(2)換元解套,將一個看似復雜的函數零點問題拆解為兩個簡單的方程解的問題,當然問題的解決始終離不開“數形結合”.

3.2已知零點個數求參數范圍問題

例5 若函數 f(x)=方程f[f(x)]=a只有五個不同的實根,則實數a的取值范圍___.

評注本題涉及兩個層次的討論,一是結合圖形對a作4種分類,二是由于是分段函數,在同一大層次下,要根據函數變量x范圍的限定,相應對t進行討論,進而整合求解.

例6 已知函數f(x)=若函數y=f[f(x)-a]有4個零點,則實數a的所有可能取值構成的集合是___.

評注利用數形結合時,準確作圖至關重要,由于所作圖像是局部的,其關鍵點、關健線及變化趨勢若關注不夠,極易導致錯誤結果.本題若未注意到是x＜0時f(x)的一條漸進線,就會列出-1＜a-1＜0且或且的錯誤式子.

例7設定義域為R的函數

若函數g(x)=f2(x)-(2m+1)·f(x)+m2有6個零點,則實數m的范圍為___.

評注本題是形如y=af(x)2+bf(x)+c型嵌套函數,整合考慮內層函數f(x)的圖像特征及零點情況,從而將問題轉化為一元二次方程有兩根解t1,t2,其中0＜t1＜4且t2=0或0＜t1＜4且t2＞4的分布情況,進而由根的分布知識予以求解.嵌套函數的零點或方程根的問題,常與函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性等融合在一起,蘊含著函數與方程、數形結合、分類討論等數學思想與方法.

一般地,對于形如y=f[g(x)]+a型函數零點問題的求解方法,通常是采用數形結合法,先作出內外層函數圖像,把函數的零點或方程根的問題轉化為函數圖像與直線y=k的交點問題;其具體路徑：(1)換元解套,令g(x)=t,從而將嵌套函數問題拆解為兩個簡單的內外層函數t=g(x)和y=f(t);(2)分別畫出內外層函數的圖像;(3)數形結合,先由f(t)=a,得到t的個數或范圍,再將t代入g(x)=t得到x的個數或范圍,而對于含參嵌套函數,在上述解題策略的基礎上,讓含參的值動起來,結合圖像特征合理分類,整合予以求解.

[1]楊衛.復合函數的零根探究[J].數學學習與研究,2015(15)：120-121.

[2]宋村,鄒生書.復合函數有關零點問題的解法[J].中學數學研究, 2013(10)：39-41.

[3]林慧明,羅明霞.運用換元法巧解一類復合函數零點問題[J].高中數學教與學,2014(6)：7-9.