一個條件不等式的推廣及其應(yīng)用

福建省莆田第三中學(xué)(351100) 翁國富

一個條件不等式的推廣及其應(yīng)用

福建省莆田第三中學(xué)(351100) 翁國富

我們知道,長方形的對角線與相鄰兩邊所成的角α,β滿足cos2α+cos2β=1且有tanαtanβ=1.由此容易得到

結(jié)論1 設(shè)銳角α,β滿足 cos2α+cos2β=1,則tanαtanβ=1.

無獨(dú)有偶,文[1]通過構(gòu)造長方體,利用長方體的對角線與三條棱所成角α,β,γ和三條棱長的關(guān)系證得如下結(jié)論2所示的條件不等式：

結(jié)論2 設(shè)銳角α,β,γ滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1則tanαtanβ tanγ≥(易知當(dāng)且僅當(dāng)α=β=γ時(shí)等號成立).

結(jié)論1、2分別揭示了二維平面內(nèi)的長方形、三維空間內(nèi)的長方體的對角線與邊(棱)所成角的內(nèi)在聯(lián)系,如果推廣到n維空間,會有什么樣的相應(yīng)結(jié)論?即若銳角α1,α2,···,αn滿足cos2α1+cos2α2+···+cos2αn=1,那么tanα1tanα2···tanαn≥?

結(jié)論3若銳角α1,α2,···,αn滿足cos2α1+cos2α2+ ···+cos2αn=1,則當(dāng)且僅當(dāng)n=2或α1=α2=···=αn時(shí)等號成立.

結(jié)論3揭示了n維空間內(nèi)的“長方體”的“體對角線”與相鄰的“棱”所成角的內(nèi)在聯(lián)系.特別地,當(dāng)n=2,3、時(shí),結(jié)論3分別為結(jié)論1、2.

以上結(jié)論有著廣泛的應(yīng)用,如果用于解決一類條件不等式問題,可以使問題化繁為簡,化難為易,收到意想不到的效果.茲舉例說明.

[1]程賢清.構(gòu)造長方體巧證不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(華南教大), 2014,10.