高中數學解題中數學分析思想的應用研究

周明澍

【摘 要】高中數學有著較強的邏輯性和嚴謹性，幫助學生掌握數學思考方式，能拓寬學生的數學思維，豐富學習方式。高中數學常用的數學分析思想有類比與歸納、逆向思維、化歸思想、整體思想四種，研究分析這四種數學分析思想，加強數學思想教育，幫助學生將其實踐運用到解題中，能有效提高學生解題效率，提升學生數學學習效果，促進高中數學教育的進步。

【關鍵詞】高中數學；數學分析思想；解題技巧；應用研究

數學分析思想是高中數學解題教學的關鍵，能夠幫助學生合理運用數學知識解決實際問題，逐漸形成完善的認知結構，培養學生數學觀念和創新思維。高中數學的學習離不開解題，而目前很多高中學生只會做題，對題目背后的數學思想和數學方法理解不夠透徹，同一題型盲目套用同一種解題方法，缺乏創新能力。所以，為了提高學生數學能力，培養有創新意識、邏輯思維能力強的人才，必須加強對學生數學分析思想的教育。

一、高中數學解題中運用數學分析思想的意義

（一）開拓學生的思維潛能

通過運用數學分析思想，充分發散思維，靈活運用數學知識，解決引申、變通出來的習題，真正將知識為己所用，從而拓寬學生的解題思路，開發學生的思維潛能，讓學生的思維更靈活，更有創造性。

（二）提高學生的觀察能力

數學學習也需要學生要有較強的觀察能力，數學分析思想能讓學生養成好的觀察習慣，透過數學習題表面，挖掘其中潛藏的數學原理，將理論知識與實踐聯系起來，繼而解決實際問題，認清事物的本質。

（三）提高學生的數學學習效果

在高中數學解題中運用數學分析思想能夠激發出學生學習數學的興趣，有效促進學生解題效率的提升和數學學習效果的進一步提高。

二、數學分析思想在高中數學解題中的實踐運用

高中數學解題常用的數學分析思想有類比與歸納、逆向思維、化歸思想、整體思想四種。

（一）類比與歸納思想

類比與歸納思想是指在解題時通過對比形式或本質相近的事物，從中歸納、總結出共同點，訓練解題技能，是高中數學解題最常用的一種數學思想。函數題計算中運用類比與歸納思想，可以讓學生發現其中隱含的數學規律，避免學生盲目做題。比如題目cosx/2·cosx/22·cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n·sinx/2n），分析題目可以發現，等式的左邊有一定規律，符合2sinx/2cosx/2=sinx，再根據規律進一步分析，發現左邊等式可以變形為2sinx/2ncosx/2n=sinx/2n-1，繼續替換、計算后，等式左邊與原等式右邊一樣，都是sinx/（2n·sinx/2n），可以證明出cosx/2·cosx/22·cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n·sinx/2n）。

（二）逆向思維

逆向思維是數學思維中最重要的思維方式之一，適用于題型比較復雜，正面解題困難，運算量較大的題目中。以題目“已知a-b=c，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，求解c的值”為例，學生在解這道題時往往會通過配方消元的方法來解出c的值，但這道題目含有許多未知元素，用配方消元來解的話需要大量運算，運算過程也相對比較復雜，這時可以運用逆向思維分析題目，提高解題效率。題目中已經有了a，b，c的等量關系，從逆向思考一元二次方程的定義，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，得出方程的解就是a和b，然后再通過韋達定理可以得出a與b的和為1，a與b的積為-c/2，題干中已經給出條件a-b=c，此時就能快速計算出這道題的答案。高中數學題中也比較常遇見這種題型：求5-52-53-54-55-56-57-58-59+510的結果，在計算此類型題目時，一個數一個數的計算既浪費時間，也很容易算錯，而運用逆向思維， 從右到左利用5n-5n-1=5n-1的規律來計算，可以快速得出結果，大大提高做題效率。

（三）化歸思想

化歸思想是指在解題時將一些復雜的、難解決的問題轉化成容易解決的問題，其核心觀點就是化難為易，將未知的問題轉換為已知的。化歸思想最重要的就是如何尋求化歸方法，確定明確化歸目標，以2010年江蘇理科高考數學題“設實數x，y滿足3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，求x3/y4的最大值”為例，直接解題時會發現問題形式不易構造，計算很花時間，所以需要等價轉化，將x3/y4轉換為（x2/y）2·1/xy2，由題目可知，3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，所以1/8≤1/xy2≤1/3，16≤（x2/y）2≤81，可以得出2≤x3/y4≤27，x3/y4的最大值為27。也就是指，化歸思想要將高次轉為低次，多元轉為一元，三維轉向二維，以實現由難到易的轉換。

（四）整體思想

高中數學題經常會整合課本知識，從另一角度考察學生對知識的掌握情況，整體思想就是讓學生立足整體，綜合運用已經學到的知識解決未知問題。比如求tan15°+tan15°tan60°的值，課本沒有直接給出tan15°的值是多少，但根據三角函數公式，可以計算將題目整體變形，計算出答案。

三、總結

高中數學題看似復雜，計算困難，但歸根究底仍是對課本知識的變相考察，這就需要學生充分掌握數學分析思想，并在解題時能綜合運用整體思想、化歸思想、類比與歸納思想、逆向思維等數學分析思想，加快解題速度，提高學習效率。

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