太極拳的彈性力學

顧 杰，郭振興

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太極拳的彈性力學

顧 杰，郭振興

（邯鄲學院 太極文化學院，河北 邯鄲 056005）

討論了功架的彈性功能，將文獻[1]的彈簧功用彈性力學原理來詮釋。推手時人體在外力作用下產生彈性變形，還可以引進攻防所需的有計劃的變形。人體彈簧系數可用串聯模型來模擬。定量分析證明了“化宜柔，發宜剛”的直觀結論。

力學；彈性；人體；模型；太極拳

一、發力和發勁的同異

圖1中的手向右方水平方向對一堵垂直的光滑的墻發勁。結果產生一對力：手對墻的向右的力，用黑色箭頭表示；墻對手的向左的力，用紅色箭頭表示。這是一對作用力和反作用力。根據牛頓第三定律，它們大小相等，方向相反。圖中攻勢水平向右，可以說手向右發勁。手對墻的推力水平向右，可以說手向右發力給墻。本例的發勁和發力差別不大，可以說發勁達到了發力的目的。

圖2中的手向右方水平方向對一堵水平的光滑的墻發勁。結果沒有產生任何力。圖中攻勢水平向右，可以說手向右發勁。但是墻水平又光滑，沒有力產生。本例發了勁，但沒有達到發力的目的。

通過這兩個例子可以看出，發勁和發力有聯系，但不是一回事。什么是發勁，什么是發力呢？在武術界這是一個很有爭議的話題。這里將用力學的語言給它們下定義。

發勁的定義：發勁由意念指導形成動量和運用動量。這里的動量包括支撐動量（由地面支持的靜態動量）、整體動量和相對動量。

發力的定義：發力是由發勁形成的動量和對方的動量相互作用產生的力。可由意念指導這個力去攻擊對方的平衡，同時保持我方平衡。

可見發勁是“知我”的過程，發力則是協調“知我”和“知彼”的對抗過程。

兩方接手時的實際情況既不是圖1的全數反力，也不是圖2的全無反力，而是介于圖1和圖2之間的彈性作用。

二、水平力的彈性模型

假設我方發一個水平推力，見圖3?？梢园呀邮痔幒蜕象w質心間的機體簡化為一個彈簧，把質心和地面間的機體也簡化為一個彈簧。

圖3 水平力時的我方的彈性模型

力學上這是一個串聯體：我方是地面、下盤彈簧、質心、上盤彈簧和接手質量的串聯體，見圖4左圖。兩方接手中間將產生力。如果我方發的是水平推力，則這個推力作用于對方。一個大小相等方向相反的反作用力作用于我方，圖4左方是我方的隔離體。注意圖3中的“發力”的反向力作用于圖4左圖的我方。類似的可以作出對方的隔離體圖，見圖4右圖。

圖5我方胡克定律

可以證明

所以串聯彈簧比較軟，或者說彈性系數較小。

這是說彈性系數和變位成反比：彈簧越剛變位越小，彈簧越柔變位越大。太極拳要柔中帶剛，剛柔相濟。太極彈簧功用力學的術語來描述有兩個方面：其一是要能剛能柔，即有變化彈性系數的能力；其二是化時宜柔，發時宜剛。

打太極拳時要能剛能柔，即有變化剛柔能力。太極拳的一個要領是“松”，松是內在的要求。而“柔”是外在表現。內在的松首先是意念要指導松，然后有肌肉、關節和韌帶的放松。長久的練松可以將松融入下意識的條件反射性行為。松的力學效果是解除僵勁，使關節靈活、韌帶富有彈性，肌肉張縮有致。內在的松導致外在的柔，柔的力學效果是進退自如、不丟不頂。這是經典推手理論中的沾和連。可以說松是內功，柔是防御的技術。太極拳并不排除“剛”，只是不主張一味的“剛”?！皠偂笔峭庠诒憩F，其對應的內在要求是“勁”。長久的練勁可以將勁融入下意識的條件反射性行為。勁的力學效果是解除僵勁，使關節靈活、韌帶富有彈性、肌肉張縮功能強，防時有抵抗功能，攻時有發勁功能。內在的勁導致外在的剛，剛的力學效果是發引自如、借勢加力。這是經典推手理論中的粘和隨?？梢哉f勁是內功，剛是進攻的技術。這么說內功有松和勁，可以用勁度來度量。勁度的左端是松，右端就是勁，見圖6。相應的外在力學效果是柔和剛。可以用彈性系數來度量。彈性系數?。ㄗ蠖耍┦侨?，彈性系數大（右端）是剛，見圖7。練左端可以立于不敗之地，練右端可以成為長勝將軍。練剛柔的變換功能才能臻至上乘功夫。這是經典理論中的階及神明。

圖6 勁的度量

圖7 彈性系數的度量

可以證明

圖8 對方胡克定律

兩方接手連成一體，圖9是聯合體的隔離體圖。這時的作用力和反作用力是為聯合體的內力，不在隔離體圖中示出。作用于體系的兩端是雙方腳底的摩擦力。這個力作用于一個由四個彈簧串連起來的彈簧上，在接手處產生變位。

串聯彈簧的彈性系數是，

由（8）式可見，作用力隨我方彈性系數的增長而增長，見圖10。作用力和對方彈性系數的關系類似。彈性系數小就是柔，彈性系數大就是剛。所以柔可以產生小的作用力，這是“化”需要的力學功能；剛可以產生大的作用力，這是“發”需要的力學功能。哪一方都能運用這個柔化剛發的力學原理。

圖10 接手聯合體的隔離體

解（3）式和（8）式得，

（9）式說明我方變位由總變位分配而來，分配量是我方和對方彈性系數之比的函數。見圖11，比值小時我方柔對方剛，我方的變位大；比值大時我方剛對方柔，我方的變位小。粗略的說是變位和我方的柔度成正比：我方越柔，變位越大；我方越剛，變位越小。這個結論對對方也適用。這就是說己方越柔，變位越大；己方越剛，變位越小。在化解時柔度大可以減小力，是有利的方面；但柔度大會引起大的變位，可能會將對方引入己方重心，是不利的方面。所以引進是有限度的，柔度不能太大。

類似的，解（6）式和（8）式得，

由（9）式和（10）式得，

（11）式再次表明兩方的變位和兩方的彈性系數成反比，和兩方的柔度成正比。

由圖3和（1）式的考慮，人體由上盤彈簧和下盤彈簧串聯而成。由（2）式和（5）式串聯彈簧比各自的上盤彈簧或下盤彈簧軟。上盤彈簧主要由接手和上體間的肢體構成。手臂撐圓、垂肘等太極要領使工架具有自動的彈性。意念主導的變換接手和上體間的距離使功架具有主動的彈性。下盤彈簧主要由兩腳和腰胯間的肢體構成。弓步、坐步等太極步型有一些彎弧處，使工架具有自動的彈性。意念主導的步型變換使功架具有主動的彈性。

由（3）可算出我方接手處的變位。為了算出質心處的變位，先列出下盤彈簧的胡克定律，

解（3）式和(12)式得，

將（1）式代入(13)式得到質心處的變位，

類似的可得到對方質心處的變位，

三、一般情況的彈性公式

攻勢的方向一般和發力方向不同。例如圖12，水平攻勢遇到有摩擦的斜面。這時產生一個正壓力分量和一個摩擦力分量，合力一般不再水平，合力通常會有一個垂直分量。又如圖13，水平攻勢遇到有傾斜的胸平面。這時產生一個法向力分量和一個切向力分量，合力一般不再和攻勢方向一致，合力通常會有一個橫向分量。

圖12 水平攻勢斜面

圖13 反彈作用力的生成

一個攻勢會有三個線性分量，對方接招后產生三個線性發力分量。受對方接招方式的影響，發力的方向一般不和攻勢方向相同。

太極推手可以認為是兩個剛體的相互作用。剛體的相互作用有六個力的分量：三個線性分量和三個旋轉分量。所以一個一般的攻勢會有三個線性分量和三個旋轉分量，對方接招后產生三個線性和三個旋轉發力分量。受對方接招方式的影響，發力的方向一般不和攻勢方向相同。攻勢包括三個方向的支撐動量、整體動量、相對動量和三個方向的支撐旋轉動量、整體角動量、相對角動量。發力包括三個方向的力和三個方向的力矩。

擴展（1）式和（4）式，

(16)式對我方和對方都適用。(16)式假定人體構成六個串聯彈簧，三個線性彈簧和三個旋轉彈簧，它們之間沒有相互作用。擴展（3）式和（6）式，接手處的彈性公式為：

類似于(8)式，廣義力和總變位的關系是：

四、線性理論

廣義變位矢量有六個分量，這些分量對人體的位置和角方位都有影響。在計算接手力時[2][3]忽略了這些影響。有兩個原因允許或導致了這些忽略。首先，這些變位和人體變位前的位置相比較小，忽略引起的誤差不大。其二是計算力時還不知變位，要算出力后才算變位。理論上可以把變位加入原來的位置，重新算力；再由新力重算變位。如此迭代已達合適的精度。迭代法將引入大量的計算，而且其收斂性需要得到證明。

忽略變位對力計算的影響是線性理論。線性理論忽略了變位和力的相互影響，忽略了二階誤差，可用最小的運算量獲得足夠的計算精度。工業界廣泛運用線性理論。

例如絎架的設計，建筑師在計算力時只用絎架的原形尺度（圖14），再把力作用于絎架來計算其變形（圖15）。建筑師用的就是線性理論。

圖14 絎架受力

圖15 絎架變形

文獻[2][3]的接手力的計算和本文的彈性變位計算也運用了線性理論的概念。突出本質，忽略次要因素，簡化計算。

五、線性位移和旋轉位移，旋轉位移和反關節限制

由(17)式可以算出接手處的變位。前三項是線變位，將略微改變接手的位置[2]。 (16)式是串聯彈簧的性質。由(16)和(17)式可以將接手出的變位分配給質心處，即算出質心處的六項變位。類似于(14)式和(15)有：

(19)式對兩方都適用。這些變位將略微改變質心的位置[2]。如果有必要，接手和質心的線變位可以代入文獻[2][3]中的公式作第二輪力的運算。

接手處總位移可以分配給兩方，（9）式和（10）式可以推廣為：

(17)式、(18)式、(20)式的后三項是角變位。(18)式是總的角變位范圍，(20)式是分配給各方的角變位范圍。變化范圍是在肢體保持彈性功能的最大變位區域，實際的變位還和起始位置有關。見圖16，因為“起始位置”介于“彈性始位”和“彈性終位”之間，“實變范圍”小于“可變范圍”。當角度達到“彈性終位”時，肢體達到反關節運動范圍的極限。超過這個極限將引起肢體受損，為了避免受損只能運動其他肢體來避免這個極限。這個避免運動通常和杠桿原理有關，杠桿原理將導致受力方被掀翻。發勁發生在“實變范圍”內。

兩方對扭時，各自的扭角和自己的彈性系數成正比。但是由于起始位置的選擇，離終位的距離不同。

圖16 事實變位小于可能變位

圖17 攻方要讓對方達到極限

圖18 守方要避免己方達到極限

六、分析例子

1. 右摟膝拗步

右摟膝拗步見圖3。由文獻[3]的公式的計算，得出表1。

表1 右摟膝拗步的水平臨界力計算

由（17）式第一式得接手處變位，

由(19)式第一式得質心處變位，

2. 倒攆猴

倒攆猴的旋見圖19。由文獻[3]的公式的計算，得出表2。

圖19倒攆猴的旋

表2 倒攆猴的旋轉臨界力矩計算

由(18)式第四和六式得總的角變位，

由(20)式第四和六式用于我方接手處變位范圍是，

由(20)式第四和六式用于對方接手處變位范圍是，

圖20攻方要讓對方達到極限

圖21 膝關節內力

七、太極拳彈性力學中量的分析方法

彈性系數可以通過實測來得到，當然因有好多種功架，實測的工作量可能很大。彈性系數還和接觸狀況有關，這樣就有更多的組合需要測量。彈性系數也可以通過計算求得?？梢詫⒅w簡化成彈性材料，根據幾何尺度、功架形狀、接觸狀況來計算。也可以用有限元方法來計算彈性系數。

根據求得的接觸力、人體重力、地面對人體的正壓力和摩擦力可以計算肢體的內力。內力有軸力、剪力、彎矩和扭矩，見圖21。進一步可以計算內應力，內應力有正應力和剪應力。

還可以計算變形。功架的各點的變形可以算出，因而可求得功架形狀的變形?？梢杂嬎銘儯瑧冇姓龖兒图魬儭?/p>

本文的模型用了準靜態的概念，即動態的過程平穩而沒有振動。真正的動態過程在理論上是可以模擬的。

今后的工作可以用有限元分析推手的動力學過程。建立兩方聯合體的隔離體，定出接手處的連接條件，定出各方和支撐面的邊界條件。對聯合隔建立彈性或粘彈體的有限元。建立人體的支撐動量、整體動量、相對動量的有限元模型。根據失根和打滑條件分析該動態模型，解算出那方得勝及其臨界廣義力。計算各方的變位、變形、應力應變。計算反關節運動的限制。

[1]顧杰.太極拳彈簧功[J].太極，2013(2,3,4,5,6).

[2]顧杰，郭振興，盧建輝.太極拳力學[M]. 北京：北京理工大學出版社，2016.

[3]顧杰，恩杰，郭振興. 用多力的立體模型分析太極拳的靜態和動態攻防功能[J]. 邯鄲學院學報，2017(1).

（責任編輯：蘇紅霞 校對：李俊丹）

G852.11

A

1673-2030(2017)04-0070-11

2017-09-10

顧杰（1955—），男，江蘇蘇州人，邯鄲學院太極文化學院客座教授，美國通用汽車公司高級工程師，美國奧克蘭大學機械制造博士；郭振興（1950—），男，河北邯鄲人，邯鄲學院太極文化學院原院長，高級政工師。