也談數學建模從模型的假設培養學生的創新思維能力

藍宗強

【摘要】數學建模實踐是培養學生創新能力的平臺，本文以實例入手，從模型假設對學生創新能力的培養進行了探討.

【關鍵詞】數學建模；培養；創新思維能力

全國大學生數學建模競賽在我國自1992年第一次組織競賽至今已經走過了25個年頭.由于在創新人才培養中的地位和作用，數學建模正受到越來越多高校，特別是高職院校和大學生們的關注和重視，全國各高校的參賽隊每年以超過20%的比例在增長，可以稱為是目前全國最大規模的學生課外科技競賽活動.

數學建模實踐的每一步都蘊含著能力上的鍛煉，在調查研究階段，需要用到觀察能力、分析能力和數據處理能力等；在提出假設時，又需要用到想象力、創新能力和歸納簡化能力.可以說，數學建模實踐對學生綜合能力的培養是全過程的，即數學建模實踐過程中的每一個環節都能培養學生的綜合能力.

數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁，是數學在各個領域廣泛應用的媒介，是數學科學技術轉化的主要途徑，數學建模在科學技術發展中的重要作用越來越受到數學界和工程界的普遍重視，它已成為現代科技工作者必備的重要能力之一.

本文結合作者多年來在高職數學建模培訓教學過程中的體會，以實例的形式，闡述了模型的假設對學生創新思維能力的培養.

一、數學建模過程中合理而簡化的模型假設必不可少

數學模型是對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，做出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構.

現實問題總是復雜的、具體的，是質和量、現象和本質、偶然和必然的統一體，根據對象的特征和建模目的，在問題分析基礎上對現實問題進行必要的、合理的取舍簡化，并使用精確的語言做出假設，這是建模至關重要的一步，如果不經過抽象和簡化，人們對其認識是困難的，也無法準確把握它的本質屬性.這是因為，一個實際問題往往是復雜多變的，如不經過合理的簡化假設，將很難轉化成數學模型，即便轉化成功，也可能是一個復雜的難于求解的模型，從而使建模歸于失敗.模型假設就是根據實際對象的特征和建模的目的，在掌握必要資料的基礎上，對原型進行的抽象、簡化，把那些反映問題本質屬性的形態、量及其關系抽象出來，簡化掉那些非本質的因素，使之擺脫原型的具體復雜形態，形成對建模有用的信息資源和前提條件，并且用精確的語言做出假設，是建模過程關鍵的一步.但對原型的抽象、簡化也不是隨意的、無條件的，而是要善于辨別問題的主要方面和次要方面，準確而果斷地抓住主要因素，拋棄次要因素，并且盡量將問題作均勻化、線性化、理想化處理，并且要按照假設的合理性原則進行，假設合理性原則有以下幾點.① 目的性原則：從原型中抽象出與建模目的有關的因素，簡化掉那些與建模目的無關的或關系不大的因素；② 簡明性原則：所給出的假設條件要簡單、準確，有利于構造數學模型；③ 真實性原則：假設條件要符合情理，簡化帶來的誤差應滿足實際問題所能允許的誤差范圍；④ 全面性原則：在對事物原型本身做出假設的同時，還要給出原型所處的環境條件.

二、合理的模型假設需要我們大膽創新

一方面現實對象是復雜多變且決定它的因素是多方面的，另一方面我們在利用數學模型來解決現實問題時，又希望問題能相對簡化而易于處理.為解決這一矛盾，模型建立前對現實問題創新性的簡化處理就顯得尤為重要，而且是建模成功與否的關鍵所在.

合理的模型假設要求我們不能墨守成規，而是要有大膽的創新精神，充分發揮想象力和創造力，如討論“人在雨中奔跑，人的淋雨量與奔跑的速度的關系”這一問題時，可以充分發揮想象力，將人體假設成長方體而使問題得到簡化，避免了人體表面的復雜對建立模型帶來的困難，創新思維能力在這里表現得淋漓盡致.

學會舍去也是一種創新.對于復雜多變的現實對象，我們必須忍痛割愛，從中舍去次要因素，抓住主要因素，進行必要的篩選；如果我們認定的主要因素還是很多的話，為了順利建模，也應該，或者說至少是暫時不予以考慮而舍棄，等到最后在模型分析時再給予考慮，或者在本模型建立中根本不予考慮，如（航行問題）“甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少？”其實，船速、水速都是變化的，它們受到上游水流、風力等多方面因素的影響，但在這里，航行問題建立數學模型時，可以假設船速、水速為常數，這樣我們舍去了很多非主要因素的影響而使問題得到簡化.如果思想上保守是很難做到這點的.當然，簡化處理過程中合理性原則還是必須要堅持的，否則，過分簡單也同樣會因為與實際相去甚遠而使建模歸于失敗.一般地，做出假設時要充分利用與問題相關的有關學科知識，充分發揮想象力和觀察判斷力，分清問題的主次，抓住主要因素，創新性地舍棄次要因素.因此，學會舍去也是一種創新.

運用近似化處理更是一種創新.在我們選定的因素里，為建模需要，也常常要進行合理的簡化，諸如線性化、均勻化、理想化等近似化處理，這也是滿足建模所用數學方法必須的前提條件.當然，假設不能違背實際問題主要特征和建模目的.如“椅子能在不平的地面上放穩嗎”這一問題，我們可以將原本不平的地面假設成地面高度連續變化，可視為數學上的連續曲面.這種處理方法就是連續化的近似處理，使原本不平坦的地面變成了連續曲面，從而可以利用連續函數的性質來討論現實問題，使復雜問題簡化了，達到了建模的目的.在充分發揮想象力和洞察力的基礎上，創新性地提出合理的模型假設，對現實問題的數學解決起到了很關鍵的作用.

三、數學建模中模型假設示例展示

示例1椅子能在不平的地面上放穩嗎？

注意：這里的“放穩”是指四腳著地，即椅腳與地面距離為零.

為了解決這一問題，我們不妨做如下模型假設.（1）四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形；（2）地面高度連續變化，可視為數學上的連續曲面；（3）地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地.

示例2存貯模型問題.

配件廠為裝配線生產若干種產品，輪換產品時因更換設備要付生產準備費，產量大于需求時要付貯存費.該廠生產能力非常大，即所需數量可在很短時間內產出.已知某產品日需求量100件，生產準備費5 000元，貯存費每日每件1元.試安排該產品的生產計劃，即多少天生產一次（生產周期），每次產量多少，使總費用最小.

通過問題分析我們發現，當生產周期短，產量小，貯存費少，但準備費多；生產周期長，產量大，準備費少，而貯存費多.

解決這一問題的關鍵在于做如下模型假設：（1）產品每天的需求量為常數r；（2）每次生產準備費為c1，每天每件產品貯存費為c2；（3）T天生產一次（周期），每次生產Q件，當貯存量為零時，Q件產品立即到來（生產時間不計）；（4）為方便起見，時間和產量都作為連續量處理.

示例3傳送系統的效率問題.

工人將生產出的產品掛在經過他上方的空鉤上運走，若工作臺數固定，掛鉤數量越多，傳送帶運走的產品越多.在生產進入穩態后，給出衡量傳送帶效率的指標，研究提高傳送帶效率的途徑.

進入穩態后為保證生產系統的周期性運轉，應假定工人們的生產周期相同，即每人作完一件產品后，要么恰有空鉤經過他的工作臺，使他可將產品掛上運走，要么沒有空鉤經過，迫使他放下這件產品并立即投入下件產品的生產.可以用一個周期內傳送帶運走的產品數占產品總數的比例，作為衡量傳送帶效率的數量指標，工人們生產周期雖然相同，但穩態下每人生產完一件產品的時刻不會一致，可以認為是隨機的，并且在一個周期內任一時刻的可能性相同.

我們不妨做如下模型假設：（1）n個工作臺均勻排列，n個工人生產相互獨立，生產周期是常數；（2）生產進入穩態，每人生產完一件產品的時刻在一個周期內是等可能的；（3）一周期內m個均勻排列的掛鉤通過每一工作臺的上方，到達第一個工作臺的掛鉤都是空的；（4）每人在生產完一件產品時都能且只能觸到一只掛鉤，若這只掛鉤是空的，則可將產品掛上運走；若該鉤非空，則這件產品被放下，退出運送系統.

示例4森林救火問題.

森林失火后，要確定派出消防隊員的數量.隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小.綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數量.

記隊員人數x，失火時刻t=0，開始救火時刻t1，滅火時刻t2，時刻t森林燒毀面積B（t），損失費f1（x）是x的減函數，由燒毀面積B（t2）決定.救援費f2（x）是x的增函數，由隊員人數和救火時間決定.我們可以想象火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比，因此，面積B與t2成正比，dBdt與t成正比.

為此我們可做如下模型假設：（1）0≤t≤t1，dBdt與t成正比，系數β（火勢蔓延速度）；（2）t1≤t≤t2，β降為β-λx（λ為隊員的平均滅火速度）；（3）f1（x）與B（t2）成正比，系數c1（燒毀單位面積損失費）；（4）每個隊員的單位時間滅火費用c2，一次性費用c3.

示例5盤子清洗問題.

餐館每天都要清洗大量的盤子，為了方便，某餐館是這樣清洗盤子的：先用冷水粗洗一次，再放入熱水池洗滌，水溫不能太高，否則燙手，也不能太低，否則清洗不干凈.由于想節約開支，餐館老板想了解一池熱水能清洗多少個盤子，請你幫他建模分析這一問題.

事實上，盤子有大有小，材質也不完全相同，不同的洗滌方法對熱水的利用也不相同，水池和空氣的吸熱也會導致水溫降低.如果全考慮這些實際因素，問題會變得非常復雜而沒有必要.不難發現決定洗滌盤子數量的是熱水的溫度，更換熱水并不是因為水太臟了，而是因為水溫不夠熱了.

為了解決這一問題，實現建模的目的，我們不妨做出如下假設：（1）水池、空氣吸熱不計，只考慮盤子自身的吸熱，盤子的大小、材質相同；（2）盤子的初始溫度與氣溫相同，洗滌完后的溫度與水溫相同；（3）水池中的水量為常數，開始溫度為T1，最終換水時的溫度為T2；（4）每個盤子洗滌時間T相同.

以上幾個建模示例中的假設，既要考慮問題本身的特點，又要考慮在簡化問題過程中假設的合理性和各種影響問題的因素間的相互作用.因此，數學建模中模型的假設不僅可以培養學生實事求是精神，更能突出對學生創新能力的培養.

高等職業教育的本質特征主要體現在培養目標和培養模式上，高等職業教育是為生產、服務和管理第一線培養實用型人才，而實用型人才必須堅持“以能力為中心”的培養模式，強調“以應用為目的”的原則，體現“聯系實際，注重應用，重視創新，提高素質”的特色.而以數學建模中的模型假設為載體培養學生的創新思維能力恰好體現了高等職業教育的培養目標，可以使學生用創新的視野去解決實際問題，同時又在解決問題的過程中培養了創新思維能力.利用數學建模中的模型假設培養學生的創新思維能力是高職院校數學教學中值得研究的一個課題.

【參考文獻】

[1]王冬琳.數學建模及實驗[M].北京：國防工業出版社，2004.