基于數學活動體驗數學思想

羅燕+李昌勇+寧銳

[摘 要] 本文以“探索直線平行的條件”一課的課例為載體，通過對課堂中兩個主要的活動的設計和教學過程進行分析，深入挖掘其中所包含的數學思想，并分析了本節課是如何在數學活動中體現數學思想的，供一線老師參考.

[關鍵詞] 數學思想；數學活動；平行條件

《義務教育數學課程標準（2011版）》（后簡稱為《標準》）把數學基本思想、基本活動經驗與數學知識和技能列為同等地位的目標，并且明確指出“數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用”，突出了數學思想的教育價值. 史寧中教授在《數學思想概論（第一輯）》中寫道：“數學思想是指數學發展所依賴、所依靠的思想”“至今為止，數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的”；而針對最近的熱點問題“學生核心素養的培養”，梁秋蓮老師以“幫助學生獲得數學思想”為抓手提出了落實核心素養的策略，可見數學思想是數學教育極其重要的組成部分.

怎樣才能在數學教學實踐中實現數學思想方法的教學呢？為此，筆者與一線老師以教學課例為載體合作、教研、探討了這一主題. 本文以史寧中教授提出的三種核心數學思想方法為基本框架，以北師大版七年級下冊“探索直線平行的條件”一課的課例為載體，探討如何在數學活動中滲透數學思想方法.

從經驗活動中抽象出幾何圖形

【活動任務】 活動1：如圖1，裝修工人正在向墻上釘木條，有一根木條b與墻壁邊緣垂直，工人師傅現在要釘一根與b平行的木條a. 你能想到哪些辦法？

學生活動：讓學生分組討論，然后讓學生介紹做法，通過活動積累大量經驗以供進一步探究.

【教學片斷】？搖？搖師：這是一個實際問題，同學們可以利用圖中任何可利用的條件來解決這個問題.

學生分組討論，老師巡視，給予一定的指導.

通過充分的討論交流，老師讓每組代表陳述本組做法.

生1：與磚的橫線重合，如圖2（這種回答包含有兩種情形，a與b相距一塊磚或多塊磚的情形），或者與磚的豎線垂直，如圖3.

生2：與墻的邊緣垂直，如圖4.

生3：與地面平行，如圖5.

后面同學說的方法要復雜些，通過日常語言和比動作很難理解，于是老師進行引導：同學們能用準確的數學語言把剛才說的方法描述一次嗎？

生4：在直線b的下方做等腰直角三角形，使得三角形的直角頂點在直線b上，兩條直角邊與直線b的夾角相等，均為45°，如圖6.

生5：作直線a的垂線m，平行移動垂線一段距離得垂線n，在垂線m上取一點C，作線段CD=線段AB，則線段CD所在直線與直線a平行，如圖7.

學生的回答大致包含在上面幾種回答中，其余學生還有一些其他回答. 比如：在直線b上作圓，利用圓的性質. 由于這類方法對提煉“三線八角”這個模型作用不大，所以老師將其先放一邊，課后再對這類方法進行分析.

師：在實際問題中判斷兩根木條是否平行時，借助墻壁作為參照，你能將上述問題抽象為數學模型嗎？試著畫出示意圖，并結合示意圖進行說明.

【反思與評析】 活動1的問題取自教材上的例題，但對例題做了小改動，教材中直接問木條a與墻壁邊緣的夾角是多少度時才能使木條a與木條b平行，這樣會限制學生的思考方向，而改動后的問題則發散了學生的思維，讓學生可以盡可能地從不同角度思考解決方法，也為后面提煉出兩條直線平行的模型提供了豐富的素材. 因此，老師在設計教學活動時應該多提一些靈活性的問題. 改動后的例題，學生給出了豐富的解題方法，根據原理大致可分為兩類：（1）借助已知平行得新的平行，如生3的方法；（2）借助第三條線的垂直關系，得到a，b的平行關系，如生2的方法. 在實際的課堂中筆者發現，學生最初的回答很難用準確的數學語言對做法進行描述，而是采用比動作、日常語言描述等方式，在老師的引導下，后面回答的學生逐漸嘗試使用數學語言，接著老師讓學生將開始的做法抽象成數學模型.

本問題的主要目的是讓學生通過經驗活動，找出各種構造平行的方法，然后從各種構造方法中抽象出幾何圖形，實現從經驗活動向抽象圖形方向超越，從而讓學生體會和感悟數學的抽象思想方法.

從幾何圖形中抽取分類幾何

模型

【活動任務】 活動2：讓學生將剛才所得的方法用示意圖表示出來，經歷從實際問題轉化到數學問題的過程，并結合圖形討論這些做法的數學本質，歸納出垂直情況下八個角之間的數量關系.

【教學片斷】 學生由前面的方法作出了示意圖，老師引導學生對得到的數學圖形進行分析.

師：根據所得的示意圖，同學們觀察每種方法是根據什么來證明a，b平行的.

生：圖2和圖5是利用已知平行得新的平行，圖3、圖4、圖6、圖7是借助第三條線的垂直關系.

師：觀察第二類方法的示意圖，你們可以提煉出什么數學模型？

接著學生得到這節課最重要的數學模型“三線八角”，此時是垂直的特殊情況（如圖8）.

師：a，b平行的時候，這八個角有什么性質？

學生從相等和互補兩方面分析了這八個角的性質.

師：任意作兩條直線，我們又該如何判斷兩條直線平行呢？（由垂直過渡到一般情況）

【反思與評析】 從活動1到活動2，學生經歷由原型結構抽象出數學結構的過程，得到了豐富的形式化圖形，并對這些圖形進行歸類、分析，提煉出了本節課所需的數學模型，凸顯了模型思想的結構化內涵. 通過活動將實際問題轉化為數學問題，建立的數學模型由淺入深，能夠提升學生對數學問題解決的認識，體會模型的思想. 模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，在初中數學學習和問題解決中占有重要的地位，因此在教學中滲透模型思想至關重要.

在探索條件中滲透推理思想

【活動任務】 在垂直情形的基礎上讓學生分組討論b，c不垂直時形成的八個角滿足什么條件時a，b平行. 讓學生充分經歷解決問題的過程，類比垂直情況探索得到一般情況下同位角、內錯角的數量關系，突出本節課的重點.

【教學片斷】 教師用幾何畫板對模型進行直觀演示，通過改變角的度數，讓學生觀察各個角之間的不變關系.

師：同學們可以從這些方面進行思考——（1）從垂直向一般情形轉變的過程中，角度大小有什么變化；（2）角度之間的關系有哪些變化；（3）考慮兩對角，都變小的角有什么關系，變小和變大的角有什么關系，其他角的關系是否可以通過這兩對角的關系來轉化.

生1：∠1、∠5、∠3、∠7變小了，∠2、∠6、∠4、∠8變大了；∠1=∠5，∠3=∠5，∠1+∠2=180°.

生2：∠2+∠5=180°，∠5+∠6=180°，∠2=∠6.

此處學生還有一些類似的回答，但都缺乏邏輯性.

師：以∠1為基準，觀察下面的四個角與∠1分別滿足什么條件時兩直線平行，并寫出你的結論.

學生按照老師的要求對16對角之間的關系進行了有序的梳理.

師：通過這些角之間的關系我們就能判斷任意兩條直線平行. 如果按照位置對這16對角進行分類，該怎么分呢？怎么對它們命名？（下課鈴響）這兩個問題就留到下節課再討論.

【反思與評析】 由垂直情形轉化到一般情形的過程包含了由特殊到一般的思想，老師的引導性提問有助于學生思考. 老師先對垂直情形下八個角的關系進行分析，再由學生類比垂直情形分析一般情形，這個過程包含了類比思想. 在兩個活動中，學生經歷了觀察、操作、抽象、推理、交流等過程，根據活動中獲得的數學知識與經驗歸納出本節課的重點“兩直線平行的條件”，包含了歸納的思想，而這兩種思想就是推理思想的體現.

在這個過程中，老師有意識地引導學生對問題進行有序分類，滲透了分類思想. 分類，可以使大量繁雜的材料條理化、系統化，能培養學生思考的周密性、條理性，對提高學生的思維能力、解決問題的能力有很大的作用. 分類思想貫穿整個中學數學教學，所以將分類思想有效地融入日常教學活動中很有必要.

與教材的設計不同，本節課是將兩節課的內容綜合在一起展開探究，主要圍繞兩個活動展開. 這節課的活動設置不同于以往老師們設計的教學活動，來源于教材卻高于教材，包含了豐富的數學思想，問題的描述也比較開放，有利于發散學生的思維. 老師在教學過程中也給學生留下了足夠的時間進行探究，讓學生在討論的過程中充分感悟其中所蘊含的數學思想，同時也體現了學生的主體地位.

課堂中，數學活動是引導學生思考、探究的有效途徑，也是數學思想的有效載體，因此好的數學活動能夠發展學生思維的靈活性，使學生領悟到數學思想的真諦，凸顯數學思想的認識價值，從而發展學生的思維. 什么樣的活動能夠包含豐富的數學思想，什么樣的問題能夠激發學生思考，需要老師們在設計教學時進行深刻的思考，而不僅僅是對教材進行復制. 希望本文可以給一線老師的活動教學設計提供參考.

本文特別感謝雙流中學實驗外國語學校羅宗緒名師工作室的支持.