緊密結(jié)合，水乳交融—試析函數(shù)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的途徑

福建省大田縣第六中學(xué) 魏育玲

緊密結(jié)合，水乳交融—試析函數(shù)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的途徑

福建省大田縣第六中學(xué) 魏育玲

在學(xué)生函數(shù)知識(shí)的形成過程中有效地滲透“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想，有助于發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。在函數(shù)學(xué)習(xí)與具體函數(shù)問題解決的過程中，問題往往會(huì)是從不同的角度進(jìn)行切入的，教師需要引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)形結(jié)合作為一種自覺的意識(shí)，及時(shí)把尚未在問題中呈現(xiàn)的相關(guān)信息補(bǔ)全，解決問題后需要進(jìn)行具體的方法總結(jié)，從而真正讓學(xué)生由“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”，實(shí)現(xiàn)函數(shù)學(xué)習(xí)的增值。

函數(shù)教學(xué)；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)思想；切入

現(xiàn)實(shí)中不少教師都會(huì)遇到這樣的現(xiàn)象：我們講了不少題目，但學(xué)生總是只會(huì)局限于模仿型解題的水平，只要具體條件稍作變動(dòng)，他們就會(huì)不知所措。為何會(huì)出現(xiàn)這樣的情況？究其原因還是在于教師指導(dǎo)過程中的就題論題，沒有將解決策略上升到方法的層面，更沒有提高到數(shù)學(xué)思想的高度。可見在數(shù)學(xué)教學(xué)中使學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生把具體的知識(shí)消化吸收為有個(gè)性的數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生來說是至關(guān)重要的。

說到函數(shù)學(xué)習(xí)，很多師生會(huì)脫口而出“數(shù)形結(jié)合”四個(gè)字，似乎數(shù)形結(jié)合已經(jīng)成為解決函數(shù)問題的不二法門。教學(xué)實(shí)踐也表明，在學(xué)生函數(shù)知識(shí)的形成過程中有效地滲透“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想，有助于發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提升學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、借形析數(shù)，開拓解題思路

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材比20世紀(jì)已經(jīng)明顯減少了難度，但對(duì)于初中生來說，函數(shù)依然是一塊相對(duì)抽象的內(nèi)容。為了化解理解上的難度，開拓解題思路，通過形的直觀來分析數(shù)的抽象是必然之路。

坐標(biāo)系是構(gòu)成函數(shù)的必要元素，也是函數(shù)圖像得以體現(xiàn)的基礎(chǔ)，教師應(yīng)進(jìn)行有效引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生理解函數(shù)知識(shí)，并逐步將知識(shí)引向深入。比如“正比例函數(shù)”的教學(xué)中，教師通過讓學(xué)生觀察圖像、了解了表達(dá)式y(tǒng)=kx（k≠0）的意義與函數(shù)的基本特征以后，可以把畫一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖像的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生，讓他們自己去分析、觀察與探究，讓學(xué)生理解數(shù)與形二者的關(guān)系。通過觀察，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)在坐標(biāo)系y軸上的截距就是b值，圖像與x軸的交點(diǎn)是，根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”，學(xué)生就可以畫出這條直線了。當(dāng)然具體教學(xué)中，這兒的字母還是用具體數(shù)字來表示更加直觀，也易于學(xué)生理解。隨著不斷的畫圖與嘗試，學(xué)生就可以總結(jié)出上述規(guī)律來了。就這樣，教師通過讓學(xué)生對(duì)正比例函數(shù)圖像畫法進(jìn)行遷移，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生的自主探究，實(shí)現(xiàn)了函數(shù)學(xué)習(xí)的數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生感受到了借形析數(shù)的好處。以下通過解題進(jìn)行繼續(xù)分析：

112233

像上的三個(gè)點(diǎn),且x1＜0＜x2＜x3，則y1、y2、y3的大小關(guān)系正確的是（）。

A.y3＞y1＞y2B.y1＞y3＞y2

C.y2＞y1＞y3D.y1＞y2＞y3

圖1

如圖所示，∵x1＜0＜x2＜x3，畫圖可得點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B與C位于第四象限，∴y1＞y3＞y2。

點(diǎn)評(píng)：解決這道題，曾經(jīng)有學(xué)生用具體數(shù)字來嘗試分析問題，比如取x1=-1、x2=1、x3=2，然后找到y(tǒng)1、y2、y3的值，也可以解決問題，但幸好這是選擇題，如果這道題變成問答題，這種舉實(shí)例的方法難免缺少說服力，因?yàn)樽帜缚梢员硎緮?shù)，但字母并不只表示特定的數(shù)，而通過畫圖方法不但能很快找到三個(gè)縱坐標(biāo)的位置，從而直觀地比較縱坐標(biāo)的大小，而且通過數(shù)形結(jié)合為以后的解題找到了門徑。命題者故意不給學(xué)生畫出圖像，其意圖也非常明顯——考查學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像的分析能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。具體解答這類題目的過程中，學(xué)生需要根據(jù)平時(shí)所學(xué)把圖像補(bǔ)畫出來，然后再具體問題具體分析。

二、以數(shù)解形，回歸函數(shù)本質(zhì)

“以數(shù)解形”指的是在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，將函數(shù)的圖像信息轉(zhuǎn)化為代數(shù)信息，促進(jìn)對(duì)于函數(shù)解析式的代數(shù)思考。

分析：根據(jù)題目所給的圖像分析，可以判斷系數(shù)k＞0，即3-m＞0，故m＜-3。本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能實(shí)現(xiàn)靈活解題。

AB⊥x軸于B，且S△AOB=3，求k的值。

圖2

分析：這類三角形面積與函數(shù)圖像結(jié)合在一起的題目有一定的綜合性，不少學(xué)生一開始找不到解題方向，雖然題目中還給出了圖像，省去了學(xué)生畫圖的麻煩，但要真正讀懂題目并建立起思路還真不容易。這里轉(zhuǎn)化問題的第一步是對(duì)S△AOB進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)三角形的面積是AB與OB之積的一半，因此OB與AB之積是6，這就將問題轉(zhuǎn)化成了對(duì)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的分析，從而認(rèn)清了這個(gè)突然冒出的面積問題的真實(shí)面目，使條件與結(jié)論之間的距離更近了。

圖3

解：因?yàn)镾△AOB=3，所以O(shè)B·AB=6。所以|k|=6。又因?yàn)楹瘮?shù)在二、四象限，所以k=-6。

三、數(shù)形交融，解決綜合問題

目前的中考中往往出現(xiàn)一些函數(shù)綜合性的題目圖像，這類題往往需要通過建立點(diǎn)與坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣一方面可以用代數(shù)方法來研究幾何圖形，實(shí)現(xiàn)以數(shù)析形，另一方面又可以借幾何直觀，使抽象的代數(shù)問題變得形象而易于理解。這中間，學(xué)生如何找到數(shù)與形的結(jié)合點(diǎn)，靈活地進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，從不同的側(cè)面加深對(duì)問題的理解是非常重要的。

例4 （1）請?jiān)谌鐖D4所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=x2-2x的大致圖像；（2）將方程x2-2x=1的解在圖上近似地表示出來（通過描點(diǎn)）；（3）借助圖像，直接寫出方程x2-2x=1的解。

分析：這是一道中考題，考查的內(nèi)容是方程的根與二次函數(shù)圖像的關(guān)系。這個(gè)知識(shí)對(duì)于學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想在這里起到了重要的作用。這道題雖然學(xué)生不用寫多少字，卻需要通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行全面深入的分析才能得到正確答案，雖然題目中指出是“大致圖像”，但精心制圖的習(xí)慣在函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要性得到了顯現(xiàn)；第3個(gè)小題的解答需要前面兩個(gè)小題的正確解答為基礎(chǔ)，而且可以有不同的方法來解答問題，有助于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新。具體解答時(shí)學(xué)生可以直接畫出y=1這條直線然后再去找交點(diǎn)，也可以將方程x2-2x=1化為x2-2x-1=0，然后在坐標(biāo)系中通過平移y=x2-2x的圖像得到y(tǒng)=x2-2x-1的圖像，然后找到相應(yīng)的點(diǎn)。

圖4

學(xué)生錯(cuò)誤答題的表現(xiàn)主要有：部分考生由于隨便畫一條拋物線，導(dǎo)致在第2小題中描點(diǎn)時(shí)由于位置不準(zhǔn)確而失分，接下來的第3小題就更是離得更遠(yuǎn)了；還有一部分考生在第2小題的表示過程中顯得粗糙與不到位，表現(xiàn)在部分學(xué)生只標(biāo)出當(dāng)y=1時(shí)拋物線上的兩點(diǎn)，也有的學(xué)生只標(biāo)出x軸上的兩點(diǎn)，足見對(duì)概念理解的不全面。他們能畫圖又無法正確表示，則說明平時(shí)缺少對(duì)形的解讀與理解。

由于初中二次函數(shù)的內(nèi)容相對(duì)比較多，特別是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是學(xué)生感到有困難的，但它是高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，所以教師在教學(xué)過程中需要幫助學(xué)生落實(shí)好每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，關(guān)注知識(shí)發(fā)生、發(fā)展與形成的過程。教學(xué)過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生注重圖像的應(yīng)用與畫法，畫后又要進(jìn)行進(jìn)一步的深化理解，將數(shù)與形牢牢地結(jié)合起來，防止讓學(xué)生淺嘗輒止。

總之，數(shù)和形是初中數(shù)學(xué)的兩條主線，數(shù)形結(jié)合則是函數(shù)解題中經(jīng)常要用到的思想方法。教學(xué)實(shí)踐告訴我們，在函數(shù)學(xué)習(xí)與具體函數(shù)問題解決的過程中，問題往往會(huì)從不同的角度進(jìn)行切入，教師需要引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)形結(jié)合作為一種自覺的意識(shí)，及時(shí)把尚未在問題中呈現(xiàn)的相關(guān)信息補(bǔ)全，解決問題后需要進(jìn)行具體的方法總結(jié)，才能實(shí)現(xiàn)由方法到思想的過渡，從而真正讓學(xué)生由“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”，實(shí)現(xiàn)函數(shù)學(xué)習(xí)的增值。

[1]祁春霞.運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”培養(yǎng)低年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)[J].寧夏教育科研，2011（03）.

[2]朱亞邦.等腰直角三角形添補(bǔ)成正方形可解多種題型——談?wù)勣D(zhuǎn)化思想的滲透[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2012（02）.