圓上一點的切線方程

劉小朋

摘要：在高中階段求圓上一點的切線方程一般的步驟是：（1）先求圓心和切點的斜率；（2）再用點斜式直線方程求出圓上一點的切線方程。這種方法很實用但是好多學生不注意總結，將點斜式的直線方程轉變成了我們的一般式直線方程，錯過了將這一結論推廣的機會，也在以后的解題過程中給自己帶來了很大的計算量。

關鍵字：切線；圖像平移；切點；橢圓上切線

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）12-0282-01

下面我就從基礎理解、提高理解、遷移理解三個方面來講切線方程在不同曲線中的形式。

1.基礎理解

求過圓x2+y2=r2上一點p（x0，y0）的切線方程。

解：Q op⊥lp

xx0a2+yy0b2=1

kpgkop=-1由直線方程點斜式得切線lp：

y-y0=-x0y0（x-x0）yy0+xx0=x02+y02yy0+xx0=r2這就是圓上一點的切線方程，這個形式很重要，其最主要的特點就是用點p（x0，y0）中的橫縱坐標將圓上x2+y2=r2中x、y個換掉一個。

2.提高理解

求過圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點p（x0，y0）的切線方程。

分析：只要我們將（x-a）2+（y-b）2=r2變換為"基礎理解"中形式，就有"基礎理解"的切線方程。

解：令x-a=X、y-b=Y

X2+Y2=r2

p（x0，y0）經過上述的平移得p′（X0，Y0）即過p′（X0，Y0）的切線方程XX0+YY0=r2所以過p（x0，y0）的切線方程（x+a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2。

3.遷移理解

求過橢圓x2a2+y2b2=1上一點p（x0，y0）的切線方程。

分析：先將橢圓方程轉化為圓方程在應用"提高理解"寫出橢圓上一點的切線方程。

解：令xa=s、yb=t則橢圓方程轉化為s2+t2=1

p（x0，y0）轉化為p′（s0，t0）（x0a=s0、y0b=t0）

過p′（s0，t0）的切線方程：ss0+tt0=1，所以過p（x0，y0）的切線方程：xagx0a+ybgy0b=1即xx0a2+yy0b2=1。

同理：（x-c）2a2+（y-d）2b2=1上一點p（x0，y0）的切線方程為：