函數、方程不等式的思想在高中數學中的應用

吳云飛

摘要：本文結合例題簡要分析了函數、方程式不等式的思想在高中數學教學中的應用，希望能給廣大同仁的教學帶來幫助。

關鍵詞：函數；方程不等式；高中數學；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）01-0125

一、相關概念解析

函數思想是運用運動和變化的觀點，分析研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，在運用函數圖像和性質分析問題中，達到轉化問題，進而解決問題的目的。函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題。

方程的思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，用數學語言把問題轉化為數學模型——方程、方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。方程的思想是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系。

不等式是研究數量關系的有力工具，在數學的各分支中，凡涉及數量關系的地方，無一不與不等式知識發生著聯系。對某些不等的是問題，通過觀察其結構上的特點，利用函數與方程思想可獲得巧妙解決。

函數與方程、不等式是通過函數值大于零、等于零、小于零而相互關聯的，它們之間既有區別又有聯系。函數與方程思想，既是函數思想與方程思想的體現，又是兩種思想綜合運用的體現，是研究變量與函數相等與不等過程中的基本數學思想。不等式與函數、方程的關系十分密切，因為有些不等式的一邊就是函數的解析式，所以我們通常不等式、方程問題轉化為函數問題，這樣就可以利用函數的圖像性質來處理不等式、方程的問題。

二、函數思想在研究方程的根、函數零點中的應用

通過以下例題分析理解函數與方程思想在解題中的重要作用。

例：（2011年陜西選擇題）求函數f（x）=-cosx在[0，+∞）內零點個數的問題。

將零點個數問題轉化為方程=cosx在[0，+∞）內的根的問題，進一步轉化為研究函數y=與y=cosx的圖像交點問題，而這兩個函數圖像是高中學生熟悉的，畫出圖像片刻就解決了，這里顯然將函數問題與方程問題相互轉化給解題帶來方便。

三、用方程思想解決函數問題

在求函數數解析式問題中也會用到方程組的思想解決問題。如下例中就是方程組思想的應用。

例：若f（x）滿足2f（x）+f=3x，則f（2）=（ ）

該題利用構造方程的方法解題。用代替原方程中的x即可得到的方程組即可解決這個函數求解析式求值問題。當然，也可以解具體化的關于f（2），f

的方程組解題，但還是體現了方程組的思想方法。

雖然函數思想和方程思想是兩個不同的概念，但它們又是密切相關的。對與函數y=f（x），當y=0時，就轉化為方程f（x）=0，也可以把函數式y=f（x）看作二元方程y-f（x）=0。函數問題可以轉化為方程問題來求解，如求函數的值域問題；方程問題亦可以轉化為函數問題來求解，如解方程f（x）=0，就是求函數y=f（x）的零點。這種緊密的關系為函數方程思想的應用，為高考題的解決提供了很多轉化方向，突出高考試題的靈活性，更體現了數學思想是解決數學問題的靈魂。

四、用函數的思想解決有關不等式的問題

將不等式問題轉換為函數問題解題利用函數圖像數形結合解決不等式問題也是函數思想的重要體現。

從幾種解析方法的比較中，不難看出解法一、二，通過變量分離構造新函數，將不等式恒成立問題轉化為函數求最值問題解，只是一種是用換元法，一種轉化為熟悉的對勾函數來求最值。解法三直接構造函數，判斷為二次函數，利用二次函數根的分布，結合二次函數圖像直接得到不等式解決，但解法三顯然難度較大，不如轉化為函數求最值簡單解法一較好，但這三種做法都體現了用函數思想解不等式問題。只有最后一種解法用到了特值法及不等式性質，但只是技巧性的解決小題適用。解決不等式問題我們要靈活把握，具體問題具體分析，本著化繁為簡的原則選擇合適的數學思想進行解題。

在高中數學問題中，還有很多可以采用函數、方程、不等式思想互換方式解決的題型，我們只是希望通過本文的分析對教學中思想方法的滲透起到拋磚引玉的作用。希望在以后的數學教學中，能恰當地轉化思維解決復雜問題，提升學生的思維能力、解題能力。

（作者單位：山西省榆社中學 031800）