“牛頓—萊布尼茨公式及其證明”基于微視頻的教學設計

李金權+劉勐

【摘要】隨著教育技術及互聯網的迅猛發展，微課、幕課、翻轉課堂等教學模式越來越受到學生和老師的歡迎，這些新興的教學手段都充分利用了視頻教學資源，在高等數學教學中如何利用好視頻教學資料來進行教學設計，達到更好的教學效果就是一個值得研究的問題.本文以高等數學中的“牛頓-萊布尼茨公式及其證明”這一節來展示利用微視頻資料進行教學設計，從而更好地把抽象的證明通過圖形的動態轉化體現出來，讓同學們更深入地理解高等數學的知識及背后的數學思想，激發學生學習高等數學的興趣，提高學習效率.

【關鍵詞】教學設計；微視頻；高等數學

一、緒 論

互聯網的快速發展特別是移動互聯網技術的發展無時無刻不影響我們的生活方式、生活習慣、思維方式等方方面面.在教育方面，對教育理念、教學方法、教學模式等的影響巨大，由教育部教育管理信息中心、百度文庫和北京師范大學聯合發布的《2015中國互聯網學習白皮書》的結果顯示，互聯網教育產品用戶主要集中在19至24歲、25至34歲兩個年齡段.19至24歲階段多是大學生，從中可以看出我們的高等教育必須適應互聯網的發展和學生的行為習慣，利用互聯網和科技帶來的效率優勢，提高學生的學習效率[1].

高等數學是大學教育中的一門基礎學科，是絕大多數大學生必須掌握的一門基礎課，是學生綜合素質的重要組成部分.高等數學有其固有的特點：高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性.抽象性和計算性是數學最基本、最顯著的特點，有了高度抽象和統一，我們才能深入地揭示其本質規律，才能使之得到更廣泛的應用.嚴密的邏輯性是指在數學理論的歸納和整理中，無論是概念的表述，還是判斷和推理，都要運用邏輯的規則，遵循思維的規律.所以說，數學也是一種思想方法，學習數學的過程就是思維訓練的過程[2].因此，在教學中，如何讓學生在掌握知識和計算的過程中，更好地體會數學思想方法，從而提高他們的綜合能力，對于高等數學的教育是一個很值得思考的問題，這需要我們在教學設計上下功夫，利用科技，特別是信息技術，把高度抽象的數學理論以比較“形象化”的技術手段進行展示，在此過程中把數學思想和方法展示給學生.同時，注意到當代大學生的學情特點，他們思維活躍，但是有時思維方式比較形象化，對抽象的事物掌握規律比較困難；特別喜歡移動互聯網，甚至一天不用手機，他們已經不能忍受；他們對新鮮的事物抱有足夠的好奇.

綜合學情和已有的技術儲備，利用微課和翻轉課堂的教學理念和模式，我們可以在某種程度上利用信息技術合理設計教學視頻，把高等數學教學中抽象概念包含的數序思想更好地展示出來，從而提高學生們學習高等數學的興趣，激發他們學習的動力.

我們以高等數學中“牛頓-萊布尼茨公式及其證明”這一小節以微視頻來進行教學設計，讓學生體會動態的微積分的定義、變上限積分的定義、牛頓-萊布尼茨公式的證明.從中體會“以直代曲”的線性化方法、數形結合方法.進而更好地理解不定積分和定積分之間的聯系.

二、基于微視頻的教學設計

微視頻通常值指的是時長不超過20分鐘的視頻短片，特別適合在移動互聯網上播放和傳播.本小節的教學設計要利用MATLAB計算軟件、幾何畫板軟件來制作微視頻.具體教學設計如下：

牛頓-萊布尼茨公式及其證明教學設計方案

使用的教材為同濟的《高等數學》上冊，第六版.

一、教材的地位與作用

牛頓-萊布尼茨公式不僅為定積分計算提供一個有效地方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯系起來，是微積分學中最重要的公式.

二、學生知識結構分析

在牛頓-萊布尼茨公式學習以前，學生已經學習了導數、微分、原函數、不定積分、定積分的概念和性質的相關知識.

二、教學目標

1.知識與技能：熟練掌握牛頓-萊布尼茨公式，培養學生觀察、分析、抽象、概括的能力，體會知識間的聯系.

2.過程與方法：根據大學生的心理素質，利用啟發式教學，始終從問題出發，層層設疑，引導學生在不斷思考中獲取知識.

3.情感與態度：提高觀察、分析、抽象、概括的能力，體會數學解決問題的方法和過程，進一步滲透類比、轉化的思維方法，激發學習興趣.

三、教學重點

掌握牛頓-萊布尼茨公式.

四、教學難點

理解牛頓-萊布尼茨公式的證明過程，體會其背后的數學思想和方法.

五、教學過程

1.復習舊知識，以微積分的定義的動態視頻展示引入課題——創設情境.

首先，利用Matlab軟件設計一個程序完成對定積分定義的動態展示，即定積分中的分割-近似求和-取極限的過程動態地展示出來.以在區間[0，1]上的定積分為例，把每一次分割所對應的所有的小矩形的圖形通過Matlab畫出來，然后拼接成動畫，做成視頻[3].實現上述過程，中間過程的一個靜態展示如下：

隨著分割的加細，所有小矩形的圖形逐漸穩定，即它們的面積和趨向穩定，這個極限值就是在區間[0，1]上的定積分.

定積分定義的動態視頻展示，可以讓學生更好地理解定積分的思想.同時，體會到按照定義來求解定積分是不容易的，即使是非常簡單的函數.從而引出牛頓-來不尼茨公式——高效的計算定積分的方法，且使得定積分成為一種科學的方法.

2.得到猜想——驗證猜想

我們要利用數學常用的解決問題的方法：猜測結論——驗證結論，得到一般的規律[4].利用這種方式給出牛頓萊布尼茨公式.

通過上述視頻的動態演示，當把[0，1]區間分割成500份，最終的圖形如下：

如何證明該猜想是一個難點，我們采用數形結合，并利用幾何畫板把它用微視頻的方式展示出來，同時也把變上限積分的幾何意義展示出來.具體做法如下：

初始畫面如下，揭示定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積.從而只需證明陰影部分的面積和紅色線段長度相等.

這需要一個橋梁和工具：變上限積分.因此要讓陰影部分動起來.視頻的中間一個過程如下圖.

隨著點向左端點運動陰影部分的面積不斷變小，通過該過程讓學生體會變上限積分函數的特點.接著要把變上限積分函數的圖像在坐標系中畫出來，且曲線的出現的過程與陰影部分的面積的變化過程同步.視頻的一個中間的靜態展示如下圖.

從而使得定積分的值——曲邊梯形的面積轉化為變上限積分函數在區間上的增量.再通過比較圖像的位置關系，我們可以得到陰影部分的面積在區間上的增量等于線段長度在區間上的增量.通過移動曲線即可得到，移動的過程的一個靜態展示如下圖.

3.得到定理——總結反思，提煉精華

完成定理證明后，加以練習，并對數學思想方法進行總結，讓同學們體會：

（1）定積分的定義

分割-近似求和-取極限的思想，以及以直代曲思想.

（2）數學解決問題的一般途徑

合理的猜測后進行嚴格的論證從而得到一般的規律是數學解決問題的常用方法.清晰的直覺和嚴謹的邏輯同樣重要.

（3）數形結合的思想

定積分的幾何意義和變上限積分函數的圖形展示.

（4）不定積分和定積分之間的關系：牛頓-萊布尼茨公式給出了求函數定積分的一般方法，把求定積分的問題轉化為求被積函數原函數的問題，這就使得作為積分和數列的極限的定積分與作為微分逆運算的不定積分緊密地聯系在一起，正是這樣的聯系才使得微積分有非常廣泛的理論和應用價值[4].

六、教學方式

采用學生事先預習，課堂上與學生共同討論的方式來進行教學，多媒體、板書等相結合.

三、總 結

隨著互聯網開放教育的深入發展，年青一代學生對互聯網的依賴及他們的行為方式的改變，我們需要利用各種信息技術把數學中的概念形象地展示出來.專業的數學軟件和課件制作軟件是我們必須靈活利用的，如Matlab、幾何畫板等.并制作成視頻，放在網上或者發給學生，充分利用微視頻的優點和學生的行為習慣，幫助學生自學、預習、復習，提高他們的學習效率，讓他們感覺到學習數學是輕松的，且有成就感.從而激發他們學習數學的動力.

我們以“牛頓-萊布尼茨公式及其證明”這一教學內容為例，把通過Matlab和幾何畫板軟件設計的動畫視頻作為教學設計的中間環節.通過這樣的設計把比較抽象的概念，通過數形結合動態地展示出來.有助于學生理解公式背后的數學思想和方法，有助于培養學生綜合數學修養.

【參考文獻】

[1]楊經曉，互聯網數學開放教育發展近況[J].數學文化，2013，4（1）：61-68.

[2]http：//baike.baidu.com/linkurl=8X4aDMNjbXID3rZTQau2RhpS9U3cp2UN_wI8dquy4yuhKVa1Sa8zUm_c7baoyo2aKoIJcnCJ_u2yDFF7fqrZV0Oa4CrTrh0qhLbbdXpneta.

[3]王正林，龔純，何倩.精通MATLAB科學計算[M].北京：電子工業出版社，2007.

[4]孫炯.《數學分析選講》公開課.http：//www.icourses.cn/viewVCourse.action？courseCode=10126V001.