高職數學中導數的應用和思考

趙麗姝

摘 要：隨著我國高職教育的快速發展，我國高職院校在數學教學中也取得了長足進步。高職院校在教學過程中應注重導數教學的作用，注重發揮導數教學的作用，在數學教學中提高導數教學的有效性，讓學生能夠充分運用導數來進行解題，從而使得高職院校的學生能夠全面提升導數的應用能力，提高他們的解題能力，讓他們的數學解題能力得到全面提高。該文筆者主要探討高職數學教學中導數的作用以及應用，以供參考。

關鍵詞：高職數學 導數 應用能力 思考

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）09（a）-0140-02

在高職數學教學過程中，作為重要的解題工具，導數的運用不僅能夠有效解決函數問題，還能夠分析函數中的極限值和單調性問題，為函數的解決問題手段提供有效幫助，在目前的高職數學教學過程中，函數的極值問題和單調性問題都能夠為函數提供有效解決手段，這也是運用導數能夠解決的函數問題，可以說函數的重點在于教學過程，這也是為何導數成為高職數學教學中的重要解題方式，并且能夠在高職數學教學中得到廣泛應用。

1 導數能夠解決的函數問題

1.1 導數能夠有效解決高職數學中的函數問題

在高職數學中，函數是重要的知識點，如果不能正確掌握函數知識，將會影響高職學生數學的最終學習效果。而函數的解題是一個難點，如何保證函數解題有效性成為了高職數學的研究重點。而導數的出現，為函數解題提供了新的方法。

1.2 導數能夠對高職數學問題的解決起著重要作用

利用導數解題，目前已經成為解決高職數學問題的有效手段，在導數解題的過程中，學者們不但要學會導數解題的具體方法，同時還要培養導數解題的意識，認識到導數解題對解決高職數學問題起到的重要作用。

1.3 導數能夠有效解決高職數學問題

在高職數學中導數知識具有重要地位，導數知識不但本身屬于高職數學的重要組成部分，同時還成為了解決高職數學問題的有力手段，因此，要正確認識導數知識在解決高職數學問題中的促進作用。

2 導數在高職數學中的應用

2.1 導數在經濟分析中的應用

（1）邊際與邊際分析。

如果在處可導，那么它在處的變化率為，即函數在點的導數，在經濟分析中稱它為在點處的邊際函數值。設在點處，從改變一個單位時，的增量的準確值為，由于實際的經濟問題中，一般是一個比較大的量，而與相比就可以看作是一個相對較小的量，由微分學可知，的近似值可表示為。這說明在點處，當改變一個單位時，近似的改變個單位。在實際應用中，通常略去“近似”二字，來解釋邊際函數的定義。于是，就有以下定義：設函數可導，則稱導數為邊際函數，稱為在點處的邊際函數值。

（2）彈性與彈性分析。

彈性也是高職數學中重要的概念之一，它反映了一個經濟變量變化對另一個經濟變量變化的影響程度。彈性常用于對需求、供給、生產收益等問題的討論。彈性的計算有兩種：點彈性和弧彈性。這里我們只介紹函數的點彈性。下面將給出一般函數的彈性定義。設函數，和分別為自變量和函數的絕對改變量，和分別稱為自變量的相對改變量和函數的相對改變量，而稱為函數從到兩點間的彈性，若在點處可導，則稱為在點處的彈性，記作。對于一般的，是的函數，稱為的彈性函數。在點處的值記為，當很小時，在點的彈性。這說明，表示在點處，當相對改變量為1%時，近似改變了%（在應用中常常略去“近似”），也就是說，反映隨的變化而變化的幅度，即對變化反應的靈敏度。

（3）優化分析。

高職數學中經常遇到的優化問題，例如：最大產出分析、最大收入分析、最大利潤分析、資源合理利用的優化分析等，數學的最優化求解方法是這類問題的主要解決方法。進行優化分析可以幫助企業管理者以最低的生產成本獲得最大化收益，意義非常深遠。這里考慮運用邊際函數求最大利潤。利潤等于收入減去成本，邊際利潤為邊際收入減去邊際成本，即ML=MR-MC。

當MR-MC>0時，每增加一個單位的產品，所增加的收益大于所增加的成本，因而總利潤增加，但沒能達到獲得最大收益的規模，此時，企業應該擴大生產規模。

當MR-MC<0時，每增加一個單位的產品，所增加的收益要小于所增加的成本，從而總利潤減少，說明企業應該減少生產規模。

當MR-MC=0時，即MR=MC，企業達到最優的產量規模。即L（x）取得最大值的必要條件是：邊際收益與邊際成本相等。另外，如果要保證利潤取得最大值，利潤對產量的二階導數必須小于零，即：<0。其中，是邊際收益的變化率，即邊際收益曲線的斜率，是邊際成本的變化率，即邊際成本曲線的斜率。所以，利潤最大化的必要條件是邊際收益邊際成本相等，充分條件是邊際成本曲線的斜率大于邊際收益的曲線的斜率。不管是競爭性的還是非競爭性的企業都適用。

通過以上分析，學者發現，在達到某一點之前，增加產量會使企業獲利增加；過了這一點，產量增加反而會使利潤減少。

2.2 導數在高職數學解題中的應用

導數在求極限方面的應用。求一個分式函數的極限時，若分子、分母的極限分別都為0，這種類型的極限有可能存在也有可能不存在，稱為型未定式極限，不能直接利用極限的四則運算法則，可以考慮利用導數是求未定式極限，也就是洛必達法則，這是一種有效的方法。

3 高職院校培養學生導數應用的思考及重要性

導數在高職數學中對學生的培養具有重要作用，不僅能夠提高學生的解題能力，還能夠結合實際將解題中遇到的問題應用到實際中，因此，筆者認為高職院校培養學生導數的應用能力是十分重要的。主要體現在以下幾點：首先，高職院校培養學生應用導數解題可以提高學生的實際解題能力考慮到導數在解題過程中的重要作用，高職院校在數學教學中應積極培養學生應用導數解題的意識，并將導數解題作為重要的解題手段來開展，使學生能夠更好掌握導數解題技巧。其次，高職院校培養學生應用導數解題可以提高數學教學實效性由于高職院校主要是以培養學生的實踐能力為主，因此，導數解題這一重要的數學手段可以對高職院校的數學教學實效性的提高產生重要促進作用。因此，要正確認識到導數解題意識對高職院校的重要影響。最后，高職院校培養學生應用導數解題可以拓展學生的知識面，使學生具備全面發展的素質。

4 結語

綜上所述，高職院校的數學教學中應注重的是導數的解題過程和技巧，重點培養學生應用導數的解題能力和解題意識，從根本上將學生綜合運用和應用導數的能力提高起來，讓高職院校的學生有應用導數解題的能力，通過以上可以發現，目前我國高職院校數學教學中對學生導數的應用教學還不夠成熟，但是從目前的整體教學體系來看，應用導數解題是十分必要的，這也是在高職院校中積極培養學生應用導數解題的意識，這種意識的培養不僅能夠有效促進高職院校數學教學的開展，同時也是對高職院校數學教學的促進，對發展我國高職數學教育教學具有重要意義。

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