“說錯”在數學教學中的實踐與思考

馬玉芳+王海榮

[摘 要] 數學習題糾錯，是高中數學課堂教學的重要內容之一. 長期以來的以教師講評為主的課堂教學方式卻在糾錯教學的效果上難如人意. 依托課題研究中引入的“學習金字塔理論”，進行由學生主導的“說錯”課堂教學實踐，把課堂還給學生，則有效地化解了傳統教學的弊端.

[關鍵詞] 說錯；數學教學；學習金字塔理論；實踐

緣起

習題講評，是數學課堂教學中的重要內容之一，習題講評中糾正學生做題中的典型錯誤，則構成了教學的重點與難點.

傳統的教學過程，往往是由教師主導，在詳細分析了學生習題中的錯誤之后，有針對性地進行備課，然后在課堂上進行講評、重申，換以不同角度剖析，設置針對性訓練以強化，基本上就算完成了一個教學周期. 但是，這種糾錯教學的效果，總是令人不甚滿意，許多典型的錯誤，即使是教師在課堂上講評了，幾天或一周后再練，出錯率仍舊很高. 根據我們一項調研發現，高三學生在數學習題上的二錯率（即教師糾錯講評后一周通過變式練習重新檢測該知識、技能、方法，仍舊出錯的比率）達46%，以至于有教師無奈地嘆息：都講了N遍了，再考還錯.

“學習金字塔理論”啟示我們，傳統教學中的習題糾錯，是典型的被動式學習，教師在講評，但那是源于教師自己的認知與經驗系統的糾錯，是基于教師認知水平的思維，它不是學生的思維，尤其不是出錯學生的思維與認知路徑. 要達到效果好的主動學習，就要追求“學習金字塔理論”中的最好階層——“講給別人聽”（也譯為“教授給他人”）. 只有出自于出錯學生自己的認知與思維，讓他們的思維用語言外化，把出錯過程暴露出來，這樣的糾錯，才可能更具有深刻性. 于是，讓學生“說錯”，把習題講評的課堂交給學生，讓學生在典型錯誤上“講給別人聽”，從而達到個體主動學習的高效，引領其他學生的思維趨于深刻，就成為筆者的思考和嘗試. 本文中的“說錯”的“錯”，僅指學生在做數學習題時產生的典型錯誤.

實踐

1. 日常習題

日常習題，即是非正規考試的日常作業類習題. 這類習題中的典型錯誤，一般是由教師發現后，指定具有典型性錯誤的某一學生先期準備，然后，作為其后課堂教學的一個環節，讓有所準備的該學生來講評，也就是來“說錯”.

基本程序：學生展示其出錯過程，分析出錯原因，指出相關的知識點、方法或技能，如何更正，其他學生補充，教師點評.

例1：設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3+S6=2S9，求數列的公比.

師：請甲同學來講評.

甲：這是我的解題過程（展示）：因為S3+S6=2S9，所以+=2，

即q3（2q6-q3-1）=0. 因為q≠0，所以 q=-或q=1.

錯誤在于q=1時，已知條件變成3a1+6a1=2·9a1，這個條件不成立. 因為忘記了檢驗.，所以導致了錯誤.

師：講評得很好. 是不是要解完了題再加上檢驗呢？（面向全體學生）

因為是課堂的一個環節，故而為保證教學效果，課前，教師要幫助學生規范語言甚至教態. 但必須注意的是，要保證學生對其錯誤展示的原生態，是學生自己的思維而不是教師的思維. 學生的展示和剖析，雖然可能不如教師來得規范、嚴謹，但是筆者恰恰以為，這才是最具有學生思維特點的教學.

2. 考練習題

高三年級，尤其進入備考階段，考試是很頻繁的. 無論是章節性考試，還是綜合性考試，都是課表上計劃的重要內容. 這類考練，都由完整的試卷構成，試卷暴露出來的錯誤，構成了后續教學的主要內容. 因此，考試后的試卷講評，對習題中典型錯誤的糾錯，并以此展開更深入的、富有針對性的教學，往往有著非同一般的意義. 基于讓學生“講給別人聽”的理念，這類“說錯”的課堂，基本流程如下：

一是學生學習小組承包. 考試之前，哪個學生學習小組承包本次試卷講評，就是很明確的，便于學生提前具有“說錯”的思想準備，也便于學生進行“說錯”的課堂準備.

二是承包學習小組集體備課. 承包小組的這幾位學生，會有意識地在考試后、在參與試卷評判、在全班學生中，收集典型錯例及其相關內容，然后在教師的指導下集體備課，明確分工，剖析錯誤.

三是承包課堂. 該學生小組承包其后的習題講評課，進行“說錯”教學. 小組學生根據課前分工，分別對不同的題目、不同的錯例，擔當“教師”角色，在課堂上進行“說錯”教學. 教師則做好點評、補臺以及安排針對性訓練的工作. 要求教師的點評簡明扼要，不喧賓奪主.

例2：已知（x+2）2+=1，則x2+y2的取值范圍是__________.

錯在哪里？不能小于零. 忘記了在原來條件中，無論x還是y，取值都是受限制的.

由已知，（x+2）2=1-，解得-3≤x≤-1. 這時，結論該是什么呢？（學生做）

師：分析得很清楚，隱含條件往往成為“陷阱”. 那么這個題目哪位同學還有不同思路呢？

生丙：類比sin2α+cos2α=1，可用三角代換.

生丁：已知為一個橢圓方程，為橢圓上的點到原點的距離的平方.

為了保證學生思維的完整性，要指導學生將“說錯”的重點放在出錯的過程上，展示出錯的思維過程，以期達到認識上的頓悟.

在更正部分盡量讓其他學生進行補充，鼓勵解法的多樣性. 通過“一題多解”，會更好地加深對習題所承載知識與方法的理解與掌握，激發興趣. 這種“說錯”，不僅會促進交流，而且會增進學生之間的思維交鋒，提高其思維的廣闊性.

思考

（1）文中“說錯”的平臺是“說題”，其中的關鍵詞是學生的“說”. 學生的學習過程，就是不斷接受新認知、不斷糾正錯誤、不斷完善知識建構的過程. 在這個過程中，思維是核心，出錯也是思維的結果. 只不過，“思維是無聲的語言”，這種無聲是內在，沒能充分調動外在感官的參與，因此，“講給別人聽”的“說錯”，讓言語成為出聲的思維，這就契合了課堂教學的特質. 不僅“說錯”的學生達到了很高的學習效率，而且由于學生有著相近甚至相同的思維模式，對于“聽錯”的學生來說，也達到了由教師講評糾錯所達不到的教學效果.

事實上，嘗試與實踐一個學期后，筆者再次調研發現，學生的二錯率最高也不超過20%，更為可喜的是，由學生進行“說錯”而帶來的一些變化超乎原來預料. 比如，學生學習數學的熱情、參與課堂教學的熱情大大提高了. 比如，“說錯”有效地訓練了學生的數學表達與交流能力，“說”的自信明顯增強，鍛煉了學生的口頭表達能力. 口頭表達，難度比書面表達更大，更能反映學生的理解程度.

（2）這個讓學生“說錯”的教學實踐，只是筆者在做課題《高中數學教學中基于“教授給他人”的主動學習研究》中的一個小片段，嘗試的時間較短，介入的班級也較少，相關的實踐途徑沒有進一步拓展. 因此，結論還顯得稚嫩，實踐也難免粗陋. 但是，對于提高數學教學效果，感覺前景很廣闊.

（3）“說錯”的理論依據是“學習金字塔理論”，但筆者感覺，“說錯”是“講給別人聽”的一種途徑，要真正構建“學習金字塔理論”下的數學高效課堂，僅有“途徑”是不夠的，需要學生在教師的指導和幫助下，在學習數學的方方面面，養成“講給別人聽”的主動學習習慣. 當學生把內部思維語言轉化為外部表述語言時，就有機會認識自己是怎么想的，自己的想法是怎樣起作用的，也就對自己的認知活動進行了再認識，所以，“說錯”的有效性源于“元認知開發”.

“說錯”，不僅要求學生說清楚出錯的過程，還要讓其他學生聽得明白，逼迫學生去追溯自己的思維過程，逼迫學生整理自己的思路以形成一個完整的流程，將內隱的、個體的思維轉化為外顯的、規范的言語及教學行為，將自己一個個跳躍的、不連貫的思維點轉化為一個連續的思維過程，并用數學語言嚴謹地表述清楚，這些內容都屬于元認知的范疇. 不僅可以讓學生對典型錯誤的認識深入骨髓，久而不忘，而且，還鍛煉了學生“看得見的思維”. “做題十遍，不如講說一遍”.

（4）為使課堂上學生“說錯”能順利進行，教師在教學過程中，要盡量少用提示語，克制隨時介入教學的沖動，盡量保持學生思維呈現的原生態. 學生限于認知上的局限，尤其在“說錯”的開始階段，難免會表達不流利，數學語言不規范，加上怯場，影響展示效果. 這時，需要教師對課堂氛圍進行營造，對“說錯”的學生進行鼓勵，以及在課前進行較為具體的“說”的指導.