遺傳算法在高中數(shù)學研究性學習中的應用

王敏

摘 要： 為了培養(yǎng)高中生在數(shù)學領域的科學研究能力，針對高中數(shù)學的研究性學習，本文提出了基于遺傳算法的教學設計。該教學設計分為引入問題、介紹算法、熟悉源代碼、編寫程序、討論結果，共五部分。研究性學習按這五部分的順序依次進行，使學生能夠了解遺傳算法的原理，并掌握如何使用遺傳算法解決實際問題。這一教學設計表明，學生可以在遺傳算法的學習中提高科學研究能力。

關鍵詞： 高中數(shù)學 研究性學習 遺傳算法

1.引言

高中數(shù)學的研究性學習是教學研究的熱點[1]，[2]。高中數(shù)學包括很多基礎數(shù)學知識，高中生可以利用這些基礎數(shù)學知識開展一些科學研究工作。在進行科學研究工作的過程中，學生可以學習一些基本的研究方法，掌握一些現(xiàn)代的研究技術，并解決生活中的實際問題。研究性學習可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和能力。學生通過研究性學習，利用所學知識解決了實際問題，對高中階段的教學有著重要意義。

高中數(shù)學的教科書[3]介紹了算法的基本概念和知識。算法是計算機科學和技術的理論基礎。目前，計算機已經進入了人們的日常生活，人們利用計算機解決了各種各樣的實際問題。建立某個實際問題的數(shù)學模型，然后利用已有的算法和相應的計算機程序求解數(shù)學模型，就可以解決這個實際問題。因此，在高中階段開展算法的研究性學習有著廣闊的前景。下面我們討論基于遺傳算法的研究性學習，并提出相應的教學設計。

2.對遺傳算法的認識

人們日常生活中的很多問題本質上都是優(yōu)化問題。比如，在大量商品里選擇質量最好的商品，或者選擇最適合自己的商品。一般來說，優(yōu)化問題可以轉化為優(yōu)化模型。在求解優(yōu)化模型的眾多算法中，遺傳算法具有突出的計算效率。因此，遺傳算法已經成為一個熱門的科學研究方向[4]。

遺傳算法模擬生物種群的進化過程，通過種群中個體的交叉、變異和選擇，實現(xiàn)了種群的進化和最優(yōu)解的尋找。它的尋優(yōu)能力很強。此外，如果優(yōu)化模型的目標函數(shù)值是離散的數(shù)值，遺傳算法適用于求解這類數(shù)學模型。對于實際優(yōu)化問題的數(shù)學模型，目標函數(shù)值一般都是離散的數(shù)值。因此利用遺傳算法可以解決很多實際問題。

在遺傳算法中，交叉、變異和選擇的計算方法較容易理解，高中生可以學習和掌握。一般優(yōu)化問題的數(shù)學模型也較容易建立，高中生可以進行研究。因此，針對高中數(shù)學的研究性學習，我們提出一種基于遺傳算法的研究性教學設計。

3.基于遺傳算法的研究性教學設計

基于遺傳算法的研究性教學設計分為引入問題、介紹算法、熟悉源代碼、編寫程序、討論結果，共五個部分依次展開。

3.1引入問題

教師：如果我們打算去購買衣服或者鞋，那么有很多同類的商品可以選擇。這些商品的質量不同，適合我們的程度也不同。我們根據質量或者適合程度選擇商品，就是選擇最好的商品，它本質上是一個優(yōu)化問題。把所有同類的商品依次編號為1、2、3…，選擇的商品號碼就是決策變量。對所有同類的商品依次打分，選擇的商品得分就是目標函數(shù)。如果同類商品的數(shù)量很少，我們就可以用大腦進行選擇。如果同類商品的數(shù)量有幾百個，甚至幾千個，我們就很難用大腦進行選擇了。遺傳算法可以幫助我們解決這個問題。

3.2介紹算法

學生：什么是遺傳算法？

教師：遺傳算法是尋找優(yōu)化問題最優(yōu)解的一種方法。它通過模擬生物種群的進化過程，產生生物的最優(yōu)個體，即找到最優(yōu)的決策變量。多個決策變量組成一個種群，一個決策變量就是一個個體。通過兩個個體的交叉計算，一個個體的變異計算，以及選擇較好的個體，使種群越來越好。最后，得到了一些很好的決策變量，并在其中得到一個最優(yōu)的決策變量。

學生：遺傳算法是怎樣計算的？

教師：第一步，隨機選擇一定數(shù)量的決策變量組成一個種群。第二步，選擇種群中兩個較好的個體進行交叉計算，得到兩個新個體。按此方法產生一些新個體。選擇種群中一個較好的個體進行變異計算，得到一個新個體。按此方法產生另一些新個體。其中，通過交叉得到的新個體較多，通過變異得到的新個體較少。所有的新個體組成了一個臨時種群。臨時種群中的個體數(shù)量與原種群中的個體數(shù)量相同。第三步，在臨時種群和原種群中，選擇一些較好的個體組成一個新種群。新種群中的個體數(shù)量與原種群相同。第四步，新種群重新進入第二步的計算，直到循環(huán)計算的次數(shù)達到給定的最大值。

3.3熟悉源代碼

學生：如何使用遺傳算法進行計算？

教師：調用遺傳算法的程序，就可以計算數(shù)學模型了。由于matlab程序語言較容易學習和理解，我們選用遺傳算法的matlab程序進行學習和實驗。在進行遺傳算法的計算時，需調用表1中的m文件。

文件1調用了數(shù)學模型，輸出結果是目標函數(shù)值。文件2隨機產生了初始種群，輸出結果是初始種群，文件3在種群中選擇了一些較好的個體，輸出結果是一些較好的個體。文件4通過交叉和變異得到了臨時種群，輸出結果是臨時種群。文件5在臨時種群和原種群中選擇得到了新種群，輸出結果是新種群。文件6通過調用文件1，對種群中所有個體按照優(yōu)劣排序，輸出結果是所有個體的次序。

學生：遺傳算法的主文件是什么？

其中，chromosome表示一個種群，pop是種群中決策變量的數(shù)量，gen是循環(huán)計算的最大次數(shù)。顯然，pop和gen越大，計算的效果越好，計算的復雜度也越高，計算所需時間也越長。因此，我們對pop和gen選取合適的值就可以了。

3.4編寫程序

學生：怎樣建立數(shù)學模型呢？

其中，x是決策變量，Y（x）是其目標函數(shù)值，文件dataY.mat包含了一個數(shù)列Y，這個數(shù)列就是我們建立的數(shù)學模型。在選購商品的實際問題中，數(shù)列中的數(shù)值是任一商品的得分，該數(shù)值的順序號是商品的代號。這樣，我們就建立了選購商品的數(shù)學模型。通過編寫數(shù)列Y，我們可以建立很多實際問題的數(shù)學模型。

3.5討論結果

教師：從以上學習內容可以看出，遺傳算法的理論和計算機程序都較容易理解。生活中的很多實際問題都可以轉化為優(yōu)化問題，進而建立數(shù)學優(yōu)化模型。這樣，我們就可以采用遺傳算法解決這些問題，初步開展科學研究工作。

4.結語

基于遺傳算法的研究性教學設計，理論內容較適合高中教學。遺傳算法的matlab程序簡單易學，高中生可以較快掌握。解決的實際問題和建立的數(shù)學模型，都適用于高中數(shù)學的研究性學習。因此，學生可以在遺傳算法的學習中提高科學研究能力。

參考文獻：

[1]倪紅升.新課程高中數(shù)學研究性學習的若干選題[J].數(shù)學通報，2007，46（06）：31-33.

[2]邱福強.探求有效途徑形成科學模式——關于實施高中數(shù)學研究性學習的思考及途徑[J].數(shù)學學習與研究，2011（5）：21-22.

[3]普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修3[M].人民教育出版社，2012.

[4]鄭金華.多目標進化算法及其應用[M].科學出版社，2007.