淺論高中數學解題過程中構造法的運用

項啟威

摘 要： 高中階段是一個在較短時間內學習大量較難知識的階段，高中數學對高中生來說更是一門很難的學科，常規的思維方法一般很難對高中數學題進行求解，構造法是一種新穎的解題思維方法。本文首先介紹了構造法的概念和特點，接著從函數、方程、數列、幾何圖形四個方面通過列舉實例說明介紹構造法在數學解題中的應用。

關鍵詞： 構造法 高中數學 解題過程 應用案例

一、構造法的含義

在進行數學問題的求解時，很多同學使用的都是常規的思考解題方法，常規的思考解題方法就是根據數學問題中已經給出的條件，向結論方向做定向思考，然而數學的某些問題如果一貫使用常規的思考問題的方式是很難得到最終正確答案的，有的問題甚至會毫無頭緒，沒有辦法下手。就好比我們走路時遇到障礙后，常規的思維方式都是把障礙清除，然后再通過，但是發現障礙很難清除，這個時候就必須找到一條新的路繞過障礙，才能更快更簡單地到達目的地。也就是說，當我們以常規的解題思維方式得不到正確的答案時，我們就應該摒棄常規的解題思維方式，從新的角度思考，這樣就可以找到一種新的解題思路，從而得到正確的答案[1]。

構造法是一種比較新穎的解題思維方法，是通常遇到的數學問題以常規定向的思維方式不能得以解決的時候，通過根據題中給出的已知條件與正確答案的特點和本身的性質，以不同的角度和不同的觀點，將對象進行細致觀察、分析后加以相應的理解，并且緊緊抓住題中已給條件和所想獲得的結論兩者之間的聯系，根據題中所給出的數據、坐標等信息的特點，把問題中已經給出的條件作為原材料，將自己已經知道的數學關系式與理論當成工具，再加上自己的思考，構造出滿足題中給出的已知條件或者結論的數學對象，以便在剛才構造出來的新的數學對象中清楚明了地表達顯示出原來問題中隱藏的關系和性質，最后把新的數學對象作為一種工具，借用這個工具幫助自己高效地解決原來的數學問題，得到相應的正確答案或者證明相應的結論，這種新的解題思維方法就是構造法[2]。構造法在數學歷史發展的長河中發揮著巨大的作用，譬如歐幾里得、高斯等非常有名的數學家，都有過使用構造法解決自己遇到的數學難題的經歷，構造法給他們無盡的啟示與靈感。

數學是一門需要創造性的學科，這門學科體現著異常豐富的美感。在進行數學研究或者解決數學難題時，巧妙地構造出新的數學對象快速高效解決問題，往往會使人眼前一亮，給人一種柳暗花明的感覺，數學的一部分美也就在這時體現出來。與此同時，還會使你更專注地深入其中，體會其中的樂趣與發掘其中的美，不僅給人帶來了相應的研究價值，還具有一定的欣賞意義。

二、構造法在高中數學解題過程中的應用

（一）構造法在高中數學解題中的應用基礎

由于構造法在解決數學難題中發揮的作用越來越明顯，尤其是在數學素質要求較高的數學競賽中作用更明顯，平時的數學學習也離不開構造法的應用。使用構造法解決數學上遇到的問題，需要學生的數學知識和解題經驗非常豐富，這是進行構造的重要知識基礎。要求學生具有很強的觀察能力，能看出和抓住已知條件與結論之間的聯系，還需要學生具有較強的綜合能力以便利用數學中方程、幾何等各方面的知識，更不能缺少的就是較強的創造能力，這是進行構造法的關鍵[3]。利用構造法解決數學上遇到的難題時，有許多形式各樣的對象能夠被用來構造，根據這些對象的特點或者內容可以將它們劃為函數、方程、圖形、反例等。在使用構造法解決數學難題時，切忌生搬硬套，構造法是沒有特定的模式和套路的，是非常靈活的。構造法的特點是“構造”，而怎樣“構造”，沒有通用的“構造”法則，但是其中還是有一定的規律可言的。首先要明白自己進行構造的目的，再者要弄明白問題的特點，再根據具體的情況，確定進行構造的方案，靈活巧妙地使用構造法構造相應的數學對象，以便快速地解決數學難題。

（二）構造法在高中數學解題中的應用實例

往往高中數學對課業繁重的高中生來說是晦澀難懂的。正確恰當地使用構造法，不僅高中生可以方便快捷地求解高中數學題，縮短考試時的做題時間，提高做題的正確率，還可以使高中生在使用構造法的過程中對數學各方面的知識得以綜合使用，加深對所學知識的理解和擴展自己解題的思路，促進以后的學習。下面舉例介紹構造法在高中數學不同知識點中的解題應用。

1.構造函數應用

函數是數學中的一部分重要的知識，靈活運用可以解決很多數學問題。要想靈活地運用函數，首先必須掌握函數的特性，函數的特性有有界性、單調性、奇偶性、周期性、連續性、凹凸性、復合函數、反函數等，只有熟練掌握了函數的這些特性，才能夠靈活正確地使用函數解決數學問題。在解決數學問題的過程中，一定的情況下，可以根據問題中給出的已知條件的特點與結論的特征，利用函數的特性，構造相應的函數，把一些不等式證明等問題轉變為函數的特性分析，會在很大程度上簡化問題，縮短做題時間，提高解題效率。現在運用構造函數的方法解決數學題有幾個難點：一是高中的數學題形式各樣，很難分清那種題型可以使用函數構造法解決數學問題，哪些不可以使用，這對高中生的要求很高。二是使用函數構造法構造函數，其本身的難度就比較大，高中生一般很難靈活使用。三是解題過程中哪一步需要構造也很難搞清楚，有的需要一開始就構造，有的是在解到一半的時候需要構造函數，這都體現了這種方法的難度[4]。下面舉一個簡單的例子說明這種方法的運用。

把不等式問題變成了利用函數的特性進行求解的問題，簡單快速地解決這個不等式問題。

2.構造方程應用

方程是在接受初中教育時就學習的一種數學知識，對高中生來說方程不是一種新的事物。方程指的是那些含有未知數的等式，解方程也就是求其中的未知數的值，或者未知數的表達式。有些數學問題有很多未知條件，這個時候為了避免進行逆向思考，就可以直接列方程，將未知數用數學符號等表示，然后建立等式，再根據等式之間的關系進行未知數的求解，省去了不少麻煩。高中數學問題由于計算量的增大、未知量的數量增加和未知量之間關系的復雜化，使得直接進行未知量的求解根本無從下手。很多情況下可以運用初中所學的解方程的基礎知識和高中解方程的知識，利用問題中給出的條件和結論之間的關系，構造出相應的方程。這樣不但可以使問題簡單化，易于下手，解題過程也變得簡單，計算量減少，不容易犯錯，能夠快速地得到正確答案，節省了寶貴的學習時間，還開闊了學生的解題思路，提高了學生的觀察能力和數學知識的綜合運用能力[5]。

3.構造數列應用

數列是高中數學中的重點與難點，很多同學對數列的使用和數列問題的解決都沒有達到熟練程度，所以平常遇到數列問題都是叫苦不迭，更別提使用數列的特性解決其他數學問題了。在求解數列問題中的求通項問題，通常遇到的既不是等差數列又不是等比數列，這種問題在高中數列問題中很常見。此時可以利用數列的特性構造具有等比或者等差特性的新數列，然后利用構造的新數列進行求解，簡化解題過程，增強結果的說服力。在解決數列問題中可以選擇構造新的數列簡化問題，也可以利用數列構造法求解別的數學問題。下面舉一個簡單的例子說明數列構造法在解決其他數學問題中的應用。

4.構造幾何圖形應用

幾何圖形學可以說是數學中最具有美感，最具有視覺感的部分。幾何圖形可以形象直觀地表達出數學關系，利用幾何圖形可以把其他數學符號、關系式體現的數學關系簡單化、具體化、直觀化。高中數學知識學習的過程中，要注重數和形兩者之間的結合，數指的是函數，數列等，而形指的是幾何圖形，將幾何圖形與函數等數學知識相結合，相互轉化[7]。

三、結語

構造法是一種極具創造性的解題思維方法，采用函數構造法、方程構造法、數列構造法、幾何圖形構造法等構造法可以簡化看似難解的高中數學題。同學們在平時解決數學問題的過程中，遇到合適的題型應當多使用構造法，在實踐中不斷提高自己用構造法解題的能力，這樣不僅能鍛煉自己快速有效地解決數學問題的能力，還能培養自己的創造性。筆者認為，構造法可以牽動學生大腦中的整個數學體系，使各知識體系間可以相互穿插、借鑒。構造法的應用必須有很強的知識掌握能力，但構造法運用一旦成功，很多疑難雜題便可迎刃而解，可以提高對知識的綜合運用能力，同時增強解決難題的信心，因此對高中生的數學學習具有非常重要的意義。

參考文獻：

[1]吉海波.構造法在高中數學解題中的應用[J].數理化學習（高中版），2014（06）：13-14.

[2]蘇京亞.淺析“構造法”在高中數學解題中的運用[J].中學數學，2014（11）：62-63.

[3]張起洋.“構造法”在高中數學解題中的應用分析[J].考試周刊，2014（40）：56-57.

[4]付春麗，潘正偉.構造函數法在高中數學解題中的應用[J].高中數理化，2015（10）：6.

[5]黃新文.構造法在高考數學解題中的應用探析[J].中學教學參考，2015（05）：41-43.

[6]張利平.例談構造法在高中數學解題中的應用[J].數理化學習（高中版），2015（07）：18-19.

[7]孔令偉.數形結合思想方法在高中數學教學與解題中的應用[D].遼寧師范大學，2012.