小學數學運用幾何直觀教學策略探究

陳炳建

（閩侯縣青口學區，福建 閩侯 350119）

小學數學運用幾何直觀教學策略探究

陳炳建

（閩侯縣青口學區，福建 閩侯 350119）

文章試圖通過正確認識幾何直觀的內涵與功能，提出借助幾何直觀理解“數”的概念、分析數量關系、發現數學規律、解決實際問題等四方面策略來闡述如何科學運用幾何直觀。

小學數學；幾何直觀；數形結合；意義；策略

小學階段的幾何直觀是兒童大腦對客觀事物的直觀感知引發想象的心理活動過程。主要借助熟悉的幾何圖形本質特征來理解數與數量關系，其實也就是借助圖形說“事”。幾何直觀貫穿在整個數學學習過程，對數學的學習起著聯系知識脈絡、理解數量關系、提供解答方法、推動數學思考的作用。通過幾何直觀可加深對數學本質的理解。然而，盡管“幾何直觀”的優越性與重要性已被廣大一線教師所接受，但在具體操作中卻存在諸多偏差。主要表現在：一是理解泛化。將所有直觀教學全歸結為幾何直觀，沒有真正理解幾何直觀的本真內涵。即只重“直觀”，輕視“幾何”。二是操作表面化。認為圖形越直觀越好，而在關鍵問題上沒有利用圖形幫助學生對其本質進行抽象。即只是直觀，忘了抽象。三是功能片面化。教學中目標只停留在片面解讀教材中幾何直觀圖，單純利用圖形描述問題，忽略了圖形分析解決問題的功能。即只為解讀，忽視分析。為此，隨著課程改革向理性化推進，筆者試圖從培養數學核心素養出發，辨析幾何直觀及其相關概念，反思應用幾何直觀教學的實踐體會，挖掘幾何直觀能力培養的教育價值，以期拋磚引玉。

一、厘清幾何直觀概念本質，正確認識幾何直觀數學意義

數學家認為直觀是對概念、證明的直接把握為起點；哲學家認為直觀是關注事物本質為起點，心理學家認為直觀是從關注感覺為起點。小學階段的直觀是指通過學生對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認識，即學生在生活實踐中對客觀事物的直接的、生動的、具體的反映。如對顏色的辨認，對聲音的判斷、對圖形的感知、對文字的描繪等可以直接刺激感官誘發思維的東西都可以構成直觀。直觀具有多樣性，相同的事物可以用不同的方法記錄、表示與刻畫。直觀具有相對性，有不同的層面的表現。當以語言解釋一個詞有困難時，我們用具體的動作演示讓人更易理解；當描摹眼前的景色有困難時我們用拍照片方式讓人直接感知；抽象的道理難以領悟，我們通過講故事讓人明白；復雜的邏輯關系難以梳理，我們畫了一個關系圖便一目了然；復雜的數量關系難以一眼看出，我們通過圖形來表征；所有這些都是直觀。由此看來并非所有的直觀都可冠以“幾何直觀”帽子。

《義務教育數學課程標準（2011版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”［1］

這段話涵蓋三層意思，第一層意思是對幾何直觀的主要表現形式作了精要說明；第二層意思概述幾何直觀的優勢；第三層意思進一步強調幾何直觀的功能和作用。與其他核心詞類似，回避了幾何直觀的明確界定。可以說，這段話是目前理解幾何直觀的最重要依據。

課標的闡述對幾何直觀的理解覆蓋了三個層面。其一對幾何直觀的兩種表現作出了精煉的概述，幾何直觀的描述和分析的過程就是凸顯數學本質的過程。其二對幾何直觀的學習策咯也作出了解釋，它通過主要的線索將數學問題中內在的數學關系、邏輯關系清晰的展示出來，在學習數學過程中感受深入淺出的境界。其三對幾何直觀的功能和作用作出了進一步的強調，幾何直觀是目前數學思考的重要拐杖更是后續學習發展的必備素養，它是一種思維習慣更是享用一生的智慧財富。通過認真研讀課標內涵，領悟課標精神實質，筆者對幾何直觀的現實意義有了更加具體的認識。［2］

首先，小學階段的幾何直觀不僅是學習的工具更是素養的培養。作為學習工具主要體現在利用圖形幫助理解關系，幫助分析解決問題；作為素養培養就是通過工具的使用培養能力、品質與習慣。與“圖形與幾何”中發展“空間觀念”截然不同。再則，雖然直觀緣于直接觀感，但直接未必就是直觀，它受到兒童的思維經驗和認知水平高低的制約。由于小學階段學生思維的形象性特點與數學學科思維的抽象性特點是學習的一大矛盾，幾何直觀教學十分必要。此外，幾何直觀是一個長期、動態的變化過程。它經歷了整個學習的過程，不同階段所收獲的幾何直觀能力是不同的。從2011版課標對幾何直觀的定位呈現出漸進的軌跡來看，第一階段初步感知空間觀念模型；第二階段建立空間觀念，感受空間模型的作用；第三階段發展空間觀念，應用空間模型解決問題。基于以上觀點，針對當前教學現狀，筆者開展了一系列探索性實踐，旨在尋求有效促進學生數學能力發展的途徑。

二、優化幾何直觀應用策略，有效提升幾何直觀數學素養

（一）借助幾何直觀理解“數”的概念

“數”的概念是數學知識的重要組成部分，而“數”本身抽象枯燥的特點影響了學習效果，借助幾何直觀可以讓“數”變得形象、趣味。在小學階段“數的認識”主要是“數”借助于“形”幫助理解，也就是數形結合。合理用好數形結合的幾何直觀教學策略不僅可以幫助我們更好了解兩者之間的本質關聯，更能夠簡潔完成“數”與“形”之間的相互轉化，便于促進對數學的理解、數學問題的解決。數形結合作為小學數學教學中一種重要的思想方法，課標針在不同的學段提出了不同的目標要求。

第一學段幾何直觀主要任務是初步感知空間觀念的模型，夯實幾何直觀基礎。“數”的認識教學，必須創設多個具體情境讓學生經歷實物表征——圖形表征——符號表征的過程。通過擺小棒、圓片，畫圖形、數線，撥計數器等活動幫助學生從具體的實物過渡到抽象的數字。在動手操作中建立起與數的一一對應關系，衍生到會看圖理解數量的多少進而發展到會用數表示數量的大小。

第二學段幾何直觀主要任務發展為初步形成空間觀念，感受幾何直觀的作用。這個階段數線隨著知識的積累和發展逐漸演變就成了數軸。在認識分數的時候就借助了數軸來理解分數、分數單位、以及這些分數單位的變化情況。0刻度到1刻度可以表示“單位1”，在這“單位1”內平均分后兩個刻度之間的量可以用分數來表示，軸上每一個刻度都可以表示一個分數單位。在認識負數時候也借助了數軸來理解正負數的內涵，直觀了解正負數的變化規律。

案例中借助鮮明的“形”去理解凝練的“數”，“數”原始概念在“形”的幫助下顯得清晰、明了。通過圖和線段理解“數”有效體現了幾何直觀的作用。

（二）借助幾何直觀理解數量關系

學生通過幾何直觀啟迪思路，將思維集中在借助圖形表達思路，把復雜的數學問題形象化，從中可以明晰數量關系。

1.借助操作，感知數量關系

要讓學生真正領悟幾何直觀的意義與操作方法，就必須鼓勵學生充分參與活動，教師協助培養他們經歷從擺一擺發展到畫一畫解決的過程。數學具體的操作活動和背后的數學知識密切聯系在一起，這個過程教學組織者要重在引導學生將自己對問題的理解通過幾何直觀展示出來，敢于將對數學問題的理解用語言表述出來。因此，要善于把握和利用好操作活動，借助活動充分感知，借助活動提煉本質，借助活動推進思維。

如教學“三角形的兩邊之和大于第三邊”：

A、取出3、4、5、7厘米長的任意3根小棒看看能擺出哪些三角形，請動手擺一擺（獨立探究，動手感知）。

B、匯報驗證，并將能擺出和不能擺出三角形的三條邊數據進行分類。

C、小組討論，發現規律（三角形的兩邊之和大于第三邊）。

資源給出的是抽象的“數”，教師則將“數”轉化成線段讓學生去擺，就是這樣的直觀操作活動引發了學生的思考：原來認識的三角形每條邊都是可測量的，而今天這些可測量的線段卻不能完全可以拼成三角形究竟問題出在哪呢？這個質疑的過程就是新舊知識的矛盾沖突。借助矛盾引導學生進行分類觀察，質疑討論從而發現了三角形兩邊之和必須要大于第三邊。在動手操作中 學生發現了問題嘗試著解決問題，就是這樣的直觀操作啟迪了學生的思維，拓寬了學生的思路，不僅找到了規律更是理解了規律的內涵。

（三）借助幾何直觀尋找發現規律

運用幾何直觀尋求規律是數學學習的重要方式。其基本流程是：將復雜的現實情境運用幾何直觀使之簡單，通過幾何圖形將情境表達出來，借助幾何直觀進行分析思考，進而發現規律模型。應用幾何直觀尋找規律策略，可以實現數學關系由繁瑣的敘述向簡潔的表達完美過渡，紛亂的思緒向規律地思考邁進，體現數學簡約一規律的魅力。

例如新世紀版三上“搭配中的學問”

【數學活動1】

用A或B分別表示上裝，用①、②、③表示3件下裝，寫出所有答案。

怎樣搭配才能做到不重不漏？（先用A來搭配下裝，有3種方法；再用B來搭配下裝，也有3種方法，所以共有6種不同的搭配方法）

小結：分類，能確保搭配不重不漏。

【數學活動2】從學校經過少年宮到動物園，一共有幾路可以走。

（畫交叉對應的圖表示從學校到動物園的所有路線）

1.展示學生作品。

2.反思：通過上述兩個生活中的搭配活動，你能概括 一下什么是搭配嗎？（從兩種不同的事物中各取出一個構成所需事物的方法。）

3.小結感悟：搭配的本質是兩種事物之間的交叉對應。

交叉對應可以轉換成矩形模式，說明搭配也是乘法的一種現實背景。這一依賴于直觀圖示的解釋，不失為一種個性化的數學形式建構。

（四）借助幾何直觀解決實際問題

借助幾何直觀教學，發揮符號與圖形的互補優勢，為學生理解提供適當的“腳手架”，使之經歷幾何圖形、數學語言、符號表征的合情轉化，這是解決實際問題的重要手段。具體做法是選用示意圖、線段圖、平面圖、、集合圖等幫助學生弄清題意，分析問題，找到解題的方法。

如分數應用題：畜牧場共飼養牛羊260頭，如果羊賣去 ，牛賣去20頭，牛羊所剩的頭數量一樣多，畜牧場飼養羊多少只？

此題如果在“純數學”領域里分析數量關系十分抽象，解決此類問題學生往往無從下手。然而，一旦引入線段圖直觀理清其題意，問題便迎刃而解。不但數量關系一目了然，還可避開分數應用題常規解法，創新解題思路。

8小段=260-20=240

又如常見的容斥問題：五年二班上學期期未考試，語文有35人成績優秀，數學有26人成績優秀，有9人語數兩科均得成績優秀。五年二班共有多少個同學？

從圖上可以很直觀的看出9人是重復了的部分，那么全班的人數就是35+26-9=42（人）。如果沒用韋恩圖直觀表示數量關系，很難理順解題頭緒。

由此看來，借助幾何直觀辨析數學概念、分析數量關系、發現數學規律、解決數學問題具有不可替代的重要作用。幾何直觀的作用不僅是讓兒童確信數學事實，還能啟迪兒童獲得自己的意義建構，從而促進理解。加強幾何直觀教學，一要加強空間觀念的建立，夯實幾何直觀的基礎。二要加強數形結合的運用。在研究問題時把數和形結合考慮，把問題的數量關系轉化為圖形性質，或把圖形性質轉化為數量關系，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。三要正確處理直觀感知、直觀理解與直觀洞察三者之間的關系。“直觀感知”是建立空間觀念的基礎；“直觀洞察”是空間觀念的發展與升華。兩者相輔相成，互為因果。而“直觀理解”是架設“直觀感知”通往“直觀洞察”的橋梁。［3］

總之，幾何直觀作為解決問題策略的工具它可以直觀呈現問題的本質，有助于對數量關系的解讀，有助于對數學問題的分析解決；作為素養的提升它能促進在應用的過程中領悟思想，發現方法，使之成為核心發展的能力素養。數學家華羅庚說：“數形本是相依偎，焉能分作兩邊飛，數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”用圖形說話，用圖形描述問題，用圖形討論問題，這是一種基本的數學素養。在教學中一方面應該充分發揮幾何直觀的價值，挖掘教材各領域的資源，優化幾何直觀教學行為，將不同階段不同層次達成幾何直觀教學目標貫穿于學習過程中。另一方面要從小培養學生的幾何直觀能力，幫助學生直觀的理解數學、運用數學，解決更多的數學問題，在實踐中逐步建立應用幾何直觀的自覺意識，積累幾何直觀的操作經驗，成為一生受用的學習方法。

［1］教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社.2012.

［2］曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的實踐解讀之四覽——幾何直觀（上）［J］.小學數學教師,2013（10）.

［3］汪國祥．充分發揮數形結合的支架作用”［J］.小學教學（數學版），2012（3）.

G623.5

A

1673-9884（2016）08-0046-04

2016-06-20

福建省教育科學“十二五”規劃2015年度一般課題（FJJK20130102122）

陳炳建（1962-），男，福建閩侯人，閩侯縣青口學區高級教師，特級教師。