中高考交匯 2題共同源
——2015年一道高考題與一道中考題解法探索

●楊 虎

(禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校 甘肅禮縣 742200)

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中高考交匯 2題共同源
——2015年一道高考題與一道中考題解法探索

●楊 虎

(禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校 甘肅禮縣 742200)

自進(jìn)入6月以來，高考、中考、小考等各級考試便接連不斷，因此6月被稱為“考試月”.經(jīng)過“考試月”的洗禮，莘莘學(xué)子便有到更高一級學(xué)校深造的機(jī)會，同時“考試月”也是對教師的一場洗禮，通過對試題的學(xué)習(xí)與研究、反思與歸納，為今后的教學(xué)積累經(jīng)驗(yàn)不無裨益.通過研習(xí)2015年的高考題和中考題發(fā)現(xiàn)，全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷文科的第22題(例1)與浙江省湖州市數(shù)學(xué)中考第20題(例2)有著驚人的相似，從而引起筆者的學(xué)習(xí)興趣.下面就這2道題的學(xué)習(xí)與解法探索過程作一呈現(xiàn)，與各位數(shù)學(xué)愛好者分享交流.

1 原試題與參考答案

例1 如圖1,AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點(diǎn)E.

1)D為AC的中點(diǎn)，求證：DE是⊙O的切線；

(2015年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)文科試題第22題)

圖1 圖2

1)證明 聯(lián)結(jié)AE，OE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，從而

∠DEC=∠DCE.

又因?yàn)椤螦CB+∠ABC=90°，∠OBE=∠OEB，所以

∠DEC+∠OEB=90°，

即

∠OED=90°，

故DE是⊙O的切線.

AE2=CE·BE，

從而

解得

于是

∠ACB=60°.

例2 如圖2，BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)C，AB交⊙O于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE.

1)若AD=DB，OC=5，求切線AC的長;

2)求證：DE是⊙O的切線.

(2015年浙江省湖州市數(shù)學(xué)中考試題第20題)

1)解 聯(lián)結(jié)CD.因?yàn)锽C是⊙O的直徑，所以∠BDC=90°，即

CD⊥AB.

又因?yàn)锳D=DB，所以

AC=BC=2OC=10

2)證明 聯(lián)結(jié)CD.因?yàn)椤螦DC=90° ，E為AC的中點(diǎn)，所以

于是

∠CDE=∠DCE.

又因?yàn)椤螼DC=∠OCD,AC切⊙O于點(diǎn)C(即AC⊥OC)，所以

∠CDE+∠ODC=∠DCE+∠OCD=90°,

故DE是⊙O的切線.

2 試題的交匯

2.1 一樣的題干，相同的源頭

通過仔細(xì)閱讀這2道題，比較后發(fā)現(xiàn)題干部分基本相同，只是圖形的字母有所不同，其源頭都是平面幾何中的圓與直線的問題，主要考查圓及其切線的相關(guān)知識與運(yùn)算.其交匯點(diǎn)是例1的第1)小題與例2的第2)小題條件一樣，問題也完全一樣，都是求證DE是⊙O的切線，也就是證明直線DE與圓的半徑OD垂直的問題.下面以例1的第1)小題為例進(jìn)行解法探索.

探索1 利用2個角互余證垂直

證法1 如圖3，聯(lián)結(jié)AE,OE.因?yàn)锳C是⊙O的切線，所以

∠CAE+∠OAE=90°.

又OA=OE，從而

∠OAE=∠OEA.

因?yàn)锳B為⊙O的直徑，D為AC的中點(diǎn)，所以

DE=DC=DA，

從而

∠DAE=∠DEA,

即

∠CAE=∠DEA, ∠DEA+∠OEA=90°，

亦即DE是⊙O的切線.

評注 證明2個角互余的方法很多，原題的參考答案也是利用2個角互余來證明垂直的，即通過證明∠DEC+∠OEB=90°得出∠OED=90°.而這里利用∠DEA+∠OEA=90°得出∠OED=90°，進(jìn)而說明DE是⊙O的切線.

圖3 圖4

探索2 利用2個三角形全等證垂直

證法2 如圖4，聯(lián)結(jié)AE，OE,OD,易知DA=DE.因?yàn)镃A是⊙O的切線，所以

∠CAB=∠DAO=90°.

易證△DAO≌△DEO,從而

∠DAO=∠DEO=90°，

因此DE是⊙O的切線.

評注 由于CA是⊙O的切線，從而∠DAB=90°，結(jié)合三角形的全等可證得∠OED=90°，達(dá)到證明的目的.

探索3 利用2個三角形相似證垂直

證法3 因?yàn)镃A是⊙O的切線，所以

∠CAB=90°.

△DEO∽△CAB,

因此

∠DEO=∠CAB=90°，

故DE是⊙O的切線.

評注 在證明角相等時，相似也是一種很好的選擇，此方法通過利用相似三角形，證明∠DEO=∠CAB=90°，達(dá)到證明的目的.

探索4 利用4點(diǎn)共圓證垂直

證法4 因?yàn)镃A是⊙O的切線，所以

即

∠AOE=2∠CAE.

易得DA=DE,從而

即

∠CDE=2∠CAE，

于是

∠CDE=∠AOE,

因此點(diǎn)O,A,D,E共圓，從而

∠DAO+∠DEO=180°.

又因?yàn)椤螪AO=90°，所以

∠DEO=90°，

故DE是⊙O的切線.

評注 4點(diǎn)共圓在平面幾何中有重要的應(yīng)用，在這里通過四邊形的外角等于它的內(nèi)對角來判定點(diǎn)O,A,D,E共圓，再利用4點(diǎn)共圓的性質(zhì)，對角互補(bǔ)，達(dá)到證明的目的.

2.2 不一樣的條件，相同的內(nèi)涵

2.2.1 例1第2)小題的另解探索

在Rt△ABC中，AB2+AC2=BC2，即

AC2=BC2-AB2，

從而

CE·CB=BC2-AB2，

于是

從而

于是

評注 由切割線定理及Rt△ABC中勾股定理的運(yùn)用，結(jié)合方程思想，可以求得∠ACB的正弦值，從而求得∠ACB的大小.

2.2.2 例2第1)小題的另解探索

AE2=CE·BE，OC=OD=5,

從而

評注 正是因?yàn)檫@2道題有著緊密的聯(lián)系，其內(nèi)涵相同，所以通過分析例1的第2)小題便可以輕松地解決例2的第1)小題.

中、高考題凝結(jié)著命題人辛勤的汗水，體現(xiàn)了命題教師深邃的智慧.一道中考題與一道高考題有交匯，2題共同源，且出現(xiàn)在同一年的中考與高考題中，不失為一道亮麗的“風(fēng)景”.放眼2道試題，通過對比學(xué)習(xí)、探索思考，這一道“風(fēng)景”強(qiáng)烈的撞擊著我們的思維，引領(lǐng)我們以不同的視角來審視問題，帶給我們不同的體驗(yàn)，領(lǐng)略到不同的“風(fēng)景”，讓我們快樂在數(shù)學(xué)解題之中，陶醉在數(shù)學(xué)探索之中！