關注中等學生解題的“會而不對”現象

●仝 建

(大廠高級中學 江蘇南京 210044)

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關注中等學生解題的“會而不對”現象

●仝 建

(大廠高級中學 江蘇南京 210044)

1 問題提出

對于高中數學的學習，多數學生屬于中等生，他們的數學學習成績一般，數學基礎和數學思維能力也在中等水平.數學教育要面向全體學生，關注每一位學生的成長，這些中等生自然是數學教學中需要關注的重要對象.

數學學習離不開解題.在平時的作業、單元測驗及考試中，不少中等生對于一些題目有自己的思路，感覺會做，但是由于種種原因(可能是審題、計算，也可能是心理調控等)最后無法得到正確答案，產生了“會而不對”現象.

這里“會”是感覺會做，有了解題的思路，擬定了解題的計劃.“不對”是指解題思路是錯的，但自己未能察覺到或者解題思路正確，但在執行解題計劃過程中出錯.這種現象不僅影響學生的學習成績，也挫傷學生學習數學的積極性，不僅影響學生學好數學的信心，甚至波及以后的學習和生活.然而，學生自己無法挖掘產生這種現象的深層原因，往往只是歸結為自己的馬虎、大意或只是一時疏忽，從而無法有效減少和避免這一現象，導致“會而不對”在自己身上一直延續.為此，我們對這種現象展開調查，希望發現產生這種現象的原因，并結合具體案例給出切實有效的解決辦法，以幫助中等生減少出現“會而不對”現象，提高數學成績，培養數學興趣，增強學好數學的信心.

2 調查結果

筆者對所在的學校(四星級高中)高一、高二年級學生，利用第二學期期末考試前的一個晚自習時間，隨機抽查了共計326人，發放問卷，進行調查，收回有效問卷324份，對其中認為自己數學成績在中等及中等偏下的275名學生的問卷進行統計(調查問卷見附錄).

統計結果如表1(其中第1題為324份問卷的統計結果，第2～7題為275名中等生的問卷統計結果).

表1 問卷統計結果

調查問卷統計的結果顯示：1)多數中等生出現“會而不對”現象的頻率較高(80%的中等生經常出現).2)多數(80%)中等生會在平時作業及考試中出現“會而不對”現象，上課時出現這種現象較少(5%).3)超過60%的中等生把產生“會而不對”現象的原因歸結為以下3點：計算馬虎、粗心變成了習慣；看錯題了，誤解了題目的意思;計算方法不好，繁雜.4)關于如何減少甚至避免在解數學題中出現的“會而不對”現象，多數(90%)學生認為做題時要專心，其中70%通過回頭看來修正錯誤，少數學生認為可以借助錯題本(占16%)和書寫規范(占15%).5)有50%的中等生沒有就自己解題中出現的“會而不對”現象向教師或同學求教過.6)65%的中等生經常因自己在解題中出現“會而不對”現象而煩惱.

通過問卷調查及對調查結果的統計，初步了解了中等學生解題中“會而不對”現象的現狀.對中等生的有些想法，與筆者的估計有較大出入，比如：教師們都一致認為可以通過錯題本有效糾錯，提高數學成績，但多數學生并不認同.

說明 此次調查范圍較小，僅涉及筆者所在學校，且尚未對高三學生展開調查.

3 案例分析

案例1 審題不準導致“會而不對”

評注 例1解答的錯誤是由于學生審題時未注意到a>0的條件導致多出一個解“a=-1”.類似的錯誤還有看錯題目中的條件，遺漏或多出題目條件.

案例2 字跡潦草，公式記憶模糊，導致“會而不對”

錯解 由三角形面積公式得

從而AC=5，再由余弦定理得

案例3 遺漏公式使用條件，導致“會而不對”

例4 已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=4，an+1=2Sn+1.求數列{an}的通項公式.

錯解 因為an+1=2Sn+1,所以

an=2Sn-1+1,

2個式子相減，得

an+1-an=2(Sn-Sn-1)，

即

an+1-an=2an，

從而

an+1=3an，

即

故數列{an}為首項為4、公比為3的等比數列，因此數列{an}的通項公式為an=4·3n-1.

評注 例3中出現的錯誤原因是學生在使用直線方程的點斜式(或斜截式)時，忽略了使用的條件，僅能在直線斜率存在的情況下使用，從而導致少了一個解.例4中出現的錯誤原因是使用數列中通項與和的關系式an=Sn-Sn-1,誤把n的范圍當成了全體正整數集，而事實上n是大于1的正整數.此類問題，學生看似會做，并認為自己做的是對的，但由于對公式、定理使用條件的忽視或遺忘，而導致錯誤(比如：使用等比數列求和公式，當公比為參數時，不少學生會忘記對公比是否為1展開討論.)

案例4 算理混淆導致“會而不對”

例6[1]已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在a=1時有極值10,求a的值.

錯解 由題知f′(x)=3x2+2ax+b，因為函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1時有極值10，所以f′(1)=0，f(1)=10，即

2a+b=-3，a+b+a2=9，

解得a=-3或a=4.

評注 例5中連續使用2次基本不等式進行放縮，但2次基本不等式取得最值時的條件不同(無法同時取到等號)，導致等號無法傳遞下去，因此錯解中求出的最小值比實際的最小值要大.例6錯解產生的原因是誤把“f′(1)=0”當成是“f(x)在x=1時取得極值”的充要條件.事實上，前者只是后者的一個必要條件，要保證f(x)在x=1時取得極值，還需要驗證x=1左、右2側的導數是否異號.此類算理的混淆、充要條件的誤用，常常會導致解的范圍擴大或縮小.

案例5 算法不優，導致“會而不對”

錯解 不妨設A為長軸上的右頂點，則點A(a,0).設點P(x,y)，因為AP⊥OP，所以

(1)

又因為點P在橢圓E上，所以

(2)

聯立式(1)和式(2)，消去y得

(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0.

(學生語：求出該方程的根，讓這個根，即點P的橫坐標在區間(-a,a)，就可以求出離心率的范圍了.但這個方程實在是不好解，因此只能寫到這里了.)

評注 不少中等生知道解題思路，通過聯立方程組，消元得關于x的一元二次方程，但是方程中含有2個字母參數a,b，且出現a3，嘗試用求根公式，感覺過繁，心理畏懼而放棄后續的運算.這種“感覺有思路，但計算繁雜，不會算”而導致“會而不對”的現象，在解析幾何的綜合題中經常出現.事實上，只要留意到方程組一定有一組解為點A的坐標，就可快速對消元后得到的一元二次方程采用十字相乘求解，從而能使計算得以進行下去.

4 預防和減少“會而不對”現象的幾點思考

《學記》中說：“學者有四失，教者必知之.人之學也，或失則多，或失則寡，或失則易，或失則止.”中等生解題中的“會而不對”現象主要是由于“寡、易、止”導致，可能是知識不足；也可能是解題時，心浮氣躁，書寫潦草，感覺過于容易，粗枝大葉；還可能是解法不優，計算繁雜，產生了畏難的情緒，導致有思路但算不下去.結合調查結果和幾個案例，筆者給出預防和減少“會而不對”現象的幾點思考如下：

4.1 指導和訓練學生審準題，學會工整、規范解題

美國著名數學教育家波利亞給出解題的4個步驟：理解題意，擬定計劃，執行計劃，回顧[2].中等生解題中的“會而不對”可能出現在各個環節，但若審題出錯，則全盤皆輸.怎樣審準題，確保自己理解的意思和題目本身含義的一致性，可以通過訓練，得到改善.比如讀題時動筆圈畫關鍵詞，從心理學的視角看，圈畫關鍵詞的過程既有視覺的輸入又有動作的輸入，2種輸入聯合起來，可以加深對題目關鍵信息的短時記憶.讀例1的過程中，若學生能夠在“a>0”處圈畫，一般不會多出負解.對于部分學生書寫時，字跡潦草，缺少依據的問題，往往是學生多年累積的習慣，可引導學生左邊對齊書寫，注意換行，寫成“詩歌體”而非“散文體”.如此等等的小技巧，不斷加以訓練可以有效解決學生審題不準、書寫潦草的問題，從而預防、減少“會而不對”現象.

4.2 指導學生學會“回頭看”，掌握一些糾錯的方法

羅增儒教授指出：“題解的檢驗也是豐富解題經驗、提高解題能力、增強數學素質的一個有效途徑”[3].從問卷調查第4題的統計結果中可以看到，多數(70%)中等生知道通過“回頭看”來修正錯誤.學生所說的“回頭看”就是檢查，但怎樣有效檢查，學生使用的方法較少，常常只是用原來的方法再演算一遍，但易受思維定勢的影響，結果有了錯誤，也很難被發現.因此需要指導學生，掌握一些糾錯的辦法.比如多解對照法，用多種方法解一道題.對于例3，若學生畫出圖來，從圖的視角不難發現過點A(0,3)的圓的切線應該是2條，少了1個解，從而糾正錯誤；特例檢驗法，將解出的結果，取特殊值或特殊圖形等，看看是否符合題意，對于例4，若學生在求出數列{an}的通項公式后，取n=1,n=2代入所求通項公式和已知條件就可以發現矛盾，糾正錯誤，逆向運算法，對于例2的錯誤，通過逆向運算可以很快發現，數字書寫的錯誤.多掌握一些糾錯的辦法，可以有效地發現錯誤，減少“會而不對”現象.這就要求教師不僅要善于引導學生發現解題方法，還要指導、訓練學生掌握一些糾錯的辦法.

4.3 指導學生會用、喜用錯題本，積累自己容易犯錯的典型案例

從問卷調查統計結果中可以看到，僅有少數(16%)的學生認為可以通過整理錯題本，減少“會而不對”現象.而事實上，中等生的解題錯誤有普遍性，也有個性化的特征，比如完全平方公式的使用，有的學生遇到(a+2b)2就容易出錯，把中間項誤認為是2ab，而另一些學生則不會犯這樣的錯誤.總之，不少錯誤帶有個性化的特征.而整理錯題本正是進行個性化糾錯，提升解題能力的好辦法，其功效已成為教師們的共識.然而，是什么原因使多數學生對錯題本整理如此不重視呢？為此，我們對部分學生就錯題本整理的相關問題進行訪談.

筆者：你們能談談關于數學錯題本的看法嗎？

生：我們覺得錯題本的作用比較小，我只是在教師布置整理錯題的時候才整理錯題.

(筆者查看了2名學生的錯題本，一道錯題主要記錄2項：題目和正確解答.)

筆者：這樣的錯題本，對于我們解題能力的提升的確幫助不大，你們知道怎樣更好地整理錯題嗎？

生：不知道.

通過訪談，初步了解了學生整理和使用錯題本的狀況，總的來說是被動整理、低效整理.究竟該如何整理錯題本？肖林元教授在一次課題指導會上指出：錯題本整理要解決3個問題：記什么，怎么記，如何用.這給了筆者深刻的啟發，結合近幾年的教學實踐，筆者認為首先要記錄自己看似會做，常常出錯的問題，要少而精；其次要按照一定的流程記錄錯題，通常包括以下：題目，錯解，錯因(包括合理之處)，正解，警示(要注意哪些問題，才能糾正這類錯誤)，相關題目(類似的題目，以便練習鞏固)；此外，還可以記錄自己的情感體驗，使錯題本更有趣；最后，還要定期錯題回爐(拿出來，做一做，再分類整理).這樣可以使整理錯題本變得有趣、有效，對減少解題中的“會而不對”現象助一臂之力.

4.4 指導學生學會選擇方法

法國著名生理學家貝爾納指出：“良好的方法能使我們更好地發揮天賦才能，而拙劣的方法會阻礙才能的發揮.”案例5中的例7，學生在求解含2個參數的一元二次方程時，想利用求根公式法求解，但感覺太繁而放棄.事實上還可以用十字相乘法，若提前觀察出一個根為a，則可采用短除法，如果在由式(2)變形代入式(1)消去y2時，不對消元后的方程展開，能夠觀察到有公因式x-a，通過提公因式，可以快速得到方程的根.在平時的解題教學中，引導學生解題之后，思考不同的方法，比較不同方法的繁簡程度和適用范圍，學會選擇較簡潔的方法解題，可以有效減少解題中的“會而不對”現象.

4.5 指導學生知識結構化，減少和避免“形式主義”的知識

美國教育心理學家布魯納指出“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它聯在一起,那是一種多半會被遺忘的知識.一串不連貫的論據在記憶中僅有短促得可憐的壽命.”中等學生解題中“會而不對”現象，有時是“假會”，是對知識理解和掌握不完整，所理解的知識是零散的，比如案例3中例3和例4的錯解，事實上是對直線方程的使用條件的不重視及數列通項和前n項和的關系理解的偏差.要想對此理解深刻，需要經常性思考知識間的關系、直線的點斜式方程是怎樣得來的、數列通項和前n項和的關系式是怎樣推導出來的，對類似問題的深入思考可以使獲得的知識結構化，便于從記憶的倉庫中提取和使用.案例4中例5和例6的解題錯誤，也充分暴露了學生在用放縮法求最值及函數有極值和導數為0的關系問題上，有知識理解方面的錯誤，對2個知識點的理解僅僅是“形式主義”的表面知識.

調查結果顯示：多數(80%)中等生會在平時的作業及考試中出現“會而不對”現象，但上課時出現這種現象較少(約5%)，主要的原因就是學生對教師解題的模仿，有時是依葫蘆畫瓢，而不知為什么這樣做.文獻[4]指出：“數學學習需要一定程度的‘模仿、記憶’，但不能完全依靠它.”前蘇聯著名數學家費里德曼指出“尋找解題不能教會，而只能靠自己學會”[5].為了減少和避免學生產生“假會”現象，教師在課堂上給出問題后，要給足學生思考的時間，待學生想清楚了，再給學生示范以規范書寫，同時講清楚每一步的依據：為什么這樣做、有什么好處，這樣學生才能更好地把學到的東西納入自己原有的知識結構中.知識結構化可以有效減少解題中的“會而不對”現象.

5 結語

中等生減少解題中“會而不對”現象，主要靠自己體悟，但教師不能因此在指導學生提高解題能力方面不作為.章建躍博士指出：“數學教學質量低下的原因，追本溯源，主要來自于教師的數學理解不到位.”[6]為了更有效地幫助中等生減少解題中“會而不對”的現象，教師首先必須加強自己對數學問題及知識的理解，打鐵還需自身硬；其次中等生更需要教師給予耐心的指導和充分的理解，需要教師不斷尋求幫助他們學好數學、樂學數學的辦法.

注：從問卷調查第7題的統計結果看，超過一半(65%)的中等生經常因自己在解題中出現“會而不對”現象而煩惱，凸顯此項研究的意義.但限于本研究調查對象少、研究時間短，研究結果還比較粗糙.此外，在數據處理時，未對性別、年級等因素對解題中“會而不對”現象的影響展開研究，期待更多的教師對此展開更加細致和深入地研究.

[1] 仝建.簡潔更需嚴謹[J].中學數學雜志,2014(7)：47-48.

[2] 波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技出版社，2007.

[3] 羅增儒.解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2008.

[4] 張躍紅.授認以漁 勿施以魚[J].數學通報，2014(11)：12-15.

[5] 費里德曼.怎樣學會解數學題[M].哈爾濱:黑龍江科技出版社，1981.

[6] 章建躍.理解數學是教好數學的前提[J].數學通報，2015(1)：61-63.