課堂中如何更好地發揮例題的作用
——例題的引申與拓展例談

●王常斌

(青云中學 廣東佛山 528313)

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課堂中如何更好地發揮例題的作用
——例題的引申與拓展例談

●王常斌

(青云中學 廣東佛山 528313)

高三復習的教學離不開選題，而高考題是我們選題的主要來源之一.選好例題固然重要，而在課堂上如何用好例題則更為重要.筆者在一節復習課中深刻體會到這一點，現將課堂實錄整理出來，供同行參考.

本節課復習圓錐曲線及其應用，在簡單復習完圓錐曲線的有關知識點后，筆者給出了一道例題：

1)求⊙C的圓心軌跡L的方程；

本題選自一道高考題，筆者讓學生嘗試做第1)小題，會做的獨立思考，有困難的看以下提示：

①你能畫出2個已知圓嗎？

②你能畫出滿足條件的一個⊙C嗎？

③設⊙C的半徑為r,你能用r表示出CF′與CF嗎？

④由③你發現了什么？你能解決第1)小題嗎？

設計意圖 分層教學思想：能力強的學生獨立解決；學困生在教師的問題提示下更好地理解題意，一步步找出解決問題的“源”.

圖1

幾分鐘后生1上臺板書：

則 ||CF|-|CF′||= |(r+2)-(r-2)|=

師：生1做得對嗎？

生2：我覺得他的解答過程有問題，漏寫了1種情況.

師：你能更正嗎？

生2：可以.

于是生2上臺將解答更正為：

從而 ||CF′|-|CF||= |(r+2)-(r-2)|=

筆者對2位學生都給予了肯定，特別是生2的思維嚴謹，并指出如果按生1的解答應是雙曲線的一支，而不是完整的雙曲線.筆者利用這個契機強化了雙曲線的定義，在這里采用了概念復習習題化的方法，比單純復習概念效果要好.接著，筆者讓學生繼續思考第2)小題如何解決，有困難的同學看以下提示:

①你能根據第1)小題計算的結果畫出第2)小題的示意圖嗎？

②從示意圖中可以看出點P，M，F構成什么圖形？

③當點P運動到什么位置時，||MP|-|FP||最大？理由是什么？

設計意圖 數形結合思想，從圖中觀察思考，啟迪思維，教學著眼于學生的最近發展區，一步步引導學生找到解題思路.

(不一會，有學生發言.)

生3：我想應該用“三角形兩邊之和小于第三邊”來做吧.

師：思路正確，那具體怎么做呢？

生3：我還未想好.

師：那同學們再思考一下，也可以相互討論.

(不一會，另一位學生發言.)

生4：當點P,F,M共線時，||MP|-|FP||取得最大值，因此只需求出直線MF與雙曲線的交點坐標即可.

師：三個臭皮匠，頂個諸葛亮！同學們按此思路試試看.

下面是生5板書的解答過程：

||MP|-|FP||≤ |MF|=

得

從而

解得

師：同學們，上述的解答過程有問題嗎？

生6：不是2個點，而應舍去一個.

師：為什么？

師：同學們明白了嗎？可以自己畫圖試試.

圖2

(學生們畫出如圖2所示的圖形，得到驗證后大家對生6佩服有加.)

教師趁熱打鐵：解析幾何是用代數方法來解決幾何問題，體現了數與形的結合，因此千萬不要忽視形(圖形)在解題中的作用啊!

(例1解決了，同學們都意猶未盡，筆者覺得就此打住未免太可惜了.)

師：同學們，我們不是為了解題而解題，要力爭做到“做一題，會一類”.對于例1，能否改變其中的條件或所求問題而變出其他題目呢？請同學們試一試.

筆者讓學生談談自己的改題方案.方案五花八門，有合理的，也有不合理的，經過篩選，綜合起來合理的改題方案有以下幾種：

變式1 1)將第1)小題中的條件“與一圓內切，與一圓外切”改成“與2個圓都外切”或“與2個圓均內切”.

2)在第1)小題中改變2個圓的位置關系.

3)將變式1),2)中的條件同時改變.

4)第2)小題中求|MP|+|FP|的最小值.

5)改變第2)小題中點M的位置，求|MP|+|FP|的最小值.

上面的變式1因為很簡單，所以教師讓學生直接說出答案：軌跡L的方程為直線x=0(其中y≠0).

然后，筆者讓每個學習小組(4人一組)自選以上變式2)～5)中的1個進行探究.10分鐘后，各小組派代表展示自己的探究成果(簡單地書寫在黑板上，例題書寫量大的用草稿紙進行投影).當然在展示的過程中也有一些錯漏，經過學生糾錯和師生共同評定都予以更正.現選取學生的探究結論和部分例題整理如下：

變式2 1)由例1知，當2個圓外離時，與一圓內切、與另一圓外切的圓的圓心軌跡L為雙曲線，2個圓半徑不相等時此結論仍然成立.

2)當2個圓外切時，與一圓內切、與另一圓外切的圓的圓心軌跡L為一條直線(去掉3個點)，即2個圓的連心線(去掉2個圓的圓心及切點),2個圓半徑不相等時，此結論仍然成立.

3)2個圓內切時，滿足條件的軌跡為橢圓(去掉切點).

例2 設⊙C與2個圓(x+2)2+y2=1，(x-2)2+y2=25中的一個內切，另一個外切．求⊙C的圓心軌跡L的方程.

分析 設F′(-2,0)，F(2,0),⊙C的半徑為r，因為⊙C只能與小圓外切與大圓內切，所以

則

|CF′|+|CF|=(r+1)+(5-r)=6>4,

4)當2個圓內含時，滿足條件的軌跡為完整的橢圓.

變式3 1)當2個圓外離且2個圓半徑不相等時，與2個圓均外切的⊙C的圓心軌跡為雙曲線的一支.

2)當2個圓外切且2個圓半徑不相等時，與2個圓均外切的⊙C的圓心軌跡為雙曲線的一支(去掉2個圓的切點).

3)當2個圓相交且2個圓半徑不相等時，與2個圓均外切的⊙C的圓心軌跡為雙曲線一支的一部分(去掉夾在2個圓交點之間的部分(包括2個交點)).

當2個圓半徑不相等時，與2個圓均內切的圓的圓心的軌跡與2個圓外切時有類似的結論，這里不再贅述.

分析 |MP|+ |FP|≥|MF|=

圖3

得

解得

圖4

分析 在例3中，點M夾在雙曲線的2支之間，而由例4畫出圖形(如圖4所示)可知，點M在右支里面，從而直線MF與雙曲線的交點P不可能夾在點M,F之間，因此例4用例3的方法行不通.顯然滿足條件的點P只可能在右支上，可以考慮用雙曲線的定義，將|FP|轉化為|PF′|-4(其中F′為雙曲線的左焦點)，從而轉化為求|MP|+|PF′|-4的最小值，再用例3的方法解決.

|PF|=|PF′|-4，

從而 |MP|+|FP|= |MP|+|F′P|-4≥

解得

學生展示完探究結果，師生共同賞析和點評后，進入課堂小結環節.

師：今天我們解答了一道高考題，并對此高考題進行了改編，同學們改編出若干好題、妙題，探究出許多有意義的結論，看來同學們學習數學的潛力是無窮的！通過今天這節課的學習，你有哪些收獲和體會，請自由談談.

(得到教師的表揚，每位學生都很開心，興致更高.)

生7：今天我學會了用定義法求圓錐曲線的軌跡方程，其關鍵在于如何將題目中的條件轉化為符合圓錐曲線定義的表達式.

生8：在求曲線軌跡方程時，要畫出草圖，分清與哪個圓內切，與哪個圓外切；利用2個圓的位置關系寫表達式時，要結合草圖來看.特別是2個圓內切時，一定要分清哪個圓的半徑大、哪個圓的半徑小.

生9：我覺得求出曲線方程后,還應該考慮自變量的取值范圍.

生10：今天我學會了“已知2個點M,P的坐標，如何在已知曲線上求一點P，使得||MP|-|FP||取得最大值，或使得|MP|+|FP|取得最小值”.前者用“三角形兩邊之差小于第三邊”，后者用“三角形兩邊之和大于第三邊，3個點共線時取等號”.

生11：我覺得共線時取等號，還要考慮到點P的位置，前者應在MF的延長線上，后者在線段MF上.

生12：我覺得做解析幾何題時一定要注意數形結合：前面求曲線方程時如此，后面求最值時也要畫出草圖；根據點M的位置來選擇是直接求直線MF與曲線的交點，還是轉化為求直線MF′與曲線的交點.

(以上學生們的發言，贏得了大家陣陣掌聲，也得到了教師由衷的贊揚.接著教師布置了課后作業.)

師：每位同學將課內自己沒有探究的變式，選擇2～3個進行探究，每個變式自編一題，并寫出詳細的解答過程.

通過這節習題課的教學，筆者也有較大的收獲.體會最深刻的一點是在課堂教學中，教師要充分發揮教學智慧，要創造條件充分發揮例題的輻射作用.許多教師對例題的教學僅停留在題目的表面，學完例題，做幾道同類的練習題，但缺乏對解題方法的提煉、對解題策略的總結.學生僅停留在簡單模仿或變式練習階段，只有少數學生能從例題和練習中自發領悟.要使學生對所學的知識融會貫通，我們必須引領學生從“自發領悟”到“自覺分析”.對于選擇的經典例題要善于“從不同的角度挖掘100次，這樣的效果要遠勝于對100道題只淺挖一次”[1].這就要求教師在課堂內多創設一些情景，多給學生一些平臺，激發他們的好奇心和求知欲，充分發揮學生學習的自覺性、主動性.教師的“外因”必須通過學生的“內因”起作用，學生的有意義建構是例題教學的本質之所在.

[1] 王永生.一道高考數學試題教學運用的精彩故事[J].中學數學教學參考:上旬，2014(1/2):42-45.