2道課本試題的探究

●王健發

(華羅庚中學 廣東惠州 516000)

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2道課本試題的探究

●王健發

(華羅庚中學 廣東惠州 516000)

筆者對人教版《數學(必修5)》習題2.1A組第4題與復習參考題B組第6題進行研究后,發現這2道題可以歸結為同一種類型,并進行了如下探究.

(人教版必修5習題2.1A組第4題第2)小題)

例2 已知數列{an}中,a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(其中n≥3)，對于這個數列的通項公式作一研究，能否寫出它的通項公式？

(人教版必修5復習參考題B組第6題)

這2道題都給出了數列的遞推公式，首先我們對例2的遞推公式進行適當地變形，將會發現它們可以化為同一結構.

將遞推公式an=2an-1+3an-22邊同除以an-2，可得

bn·bn-1=2bn-1+3，

2邊同除以bn-1，得

先來看一道廣泛分布在各類復習書和試卷中的測試題：

這道測試題的目的是檢測學生對等差數列定義的理解和求通項公式.我們先給出該題的解答過程，再進行探究性拓展.

解 因為

注意到這道測試題也是給出了類似的遞推公式，而且通過對原數列加減某一個數,再取倒數構造出一個等差數列最終求出原數列的通項公式.

但是上述2道習題卻難以通過這種方式解決.

解得

p=-2x,r=-x2.

設公比為q，則

由式(1)得

整理得

(x-y)(x+y+p)=0,

從而

x-y=0(舍去)或x+y=-p,

整理得

(x-y)(xy+r)=0,

從而x-y=0(舍去)或xy=-r.

即

例5 (斐波拉契數列)數列{Fn}滿足：F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(其中n≥3)，求數列{Fn}的通項公式.

解 為了應用上述定理，先將Fn=Fn-1+Fn-2進行變形.2邊同除以Fn-2,得

即

或

當n=1時，F1=1適合上式,從而

當Δ=p2+4r=0時，可通過構造等差數列求通項公式；

當Δ=p2+4r≠0時，可通過構造等比數列求通項公式.

例6 已知數列{an}滿足：a1=1，a2=3，an=2an-1+3an-2+4,求{an}的通項公式.

解 因為an=2an-1+3an-2+4，所以

an+1=2(an-1+1)+3(an-2+1).

令bn=an+1，則

bn=2bn-1+3bn-2,

2邊同除以bn-2，可得

因為p=2,r=3，所以

p2+4r≠0.

故

即

當n=1,n=2時，a1=1,a2=3適合上式，因此

如果將例6中遞推公式的常數4改為常見的指數形式或者一次函數形式，問題仍然可獲解.限于篇幅，我們只給出一個具體的指數形式進行分析.

例7 已知數列{an}滿足：a1=1，a2=3，an=2an-1+3an-2+2n,求{an}的通項公式.

解 可先將遞推公式an=2an-1+3an-2+2n變形為

an+λ·2n= 2(an-1+λ·2n-1)+

3(an-2+λ·2n-2),

即

an=2an-1+3an-2+3λ·2n-2，

本文是廣東省“十二五”規劃立項課題“山區高中數學分層教學的策略研究”(編號：2013YQJK195)的階段性研究成果.