等式基本性質教學設計的幾個要點*

●王紅權

(杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310003)

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等式基本性質教學設計的幾個要點*

●王紅權

(杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310003)

“源于生活、易于理解”是對日常生活中的一些規律的最為簡樸的抽象.等式基本性質是數學中的基本規律之一，小學和初中的教材中都呈現了該內容，它是數學基礎教學中重要的教學內容，在教學設計中需要充分理解其地位、價值和意義.

1 理解等式的含義是“開篇設計”的前提

1.1 教材呈現以圖代文，教學必需由圖及文(數)

本文所指的教材是指浙江教育出版社義務教育教科書《數學》(七年級).“開篇設計”以實驗形式呈現，符合學生的認知規律，讓學生真實經歷等式基本性質的形成過程.因此教學設計時必須要有實驗操作環節，在圖1、圖3的基礎上通過添加(或減少)相同的砝碼個數(如圖2、圖4所示)，觀察天平是否平衡，“觸摸”等式基本性質1的生活原型.這個環節展示時要注意3點：1)演示要反復多次并能讓學生注意到每一次操作都是“對稱的”；2)要讓學生體會到這種操作是“可逆的”(添加和取出)；3)要注意讓學生思考操作過程中的不同狀態：從一種平衡通過“操作”到另一種平衡，在這一變化過程中不變的是什么.

圖1 圖2

圖3 圖4

教材采用合作學習的方式，教師輔之以實驗，目的都是為了讓學生增加體驗，獲得經驗，為接下來的抽象歸納提供直觀的、感性的原型，使得數學抽象不再是無源之水、無本之木.

1.2 圖是圖，文是文，數學抽象是理性的抽象

1.3 反思一個案例

在某省級觀摩課中，筆者發現幾處課堂細節的發生與上述理解有密切的關系.第1個細節是教師演示完實驗后學生在歸納形成等式基本性質2時，忽略了“c≠0”，原因就是教師強調了2組圖中的“雙箭頭”，而忽視天平稱量的可逆并不是數學原理的可逆，失去提升學生理性思考的絕佳機會.

2 熟練運用等式基本性質是“中篇設計”的關鍵

學生憑借已有的生活經驗理解等式基本性質應該不會困難，但熟練應用并在應用過程中提升其邏輯思維能力和提煉出解方程的依據需要對教材編排有深刻的理解.

等式基本性質教學單元的設置是為解一元一次方程服務的.由于在一元一次方程的解決過程中只涉及移項、去分母(分母不含0因子)和合并同類項，因此在等式性質教學設計時不必過分強調分母等于0的情形.一般而言，在等式基本性質2的應用舉例教學設計時不宜補充如下問題：“已知2x-5y=0，且x≠0，求y與x的比”，留待學習分式時再研究.

3 等式基本性質、方程同解、分配律是“收官之篇設計”的三大支柱

利用等式基本性質可以解一元一次方程，其原因就是在對方程進行變形的過程中，方程本質屬性不變.

1)同解方程：解集相同的方程(等價方程).例如方程x-2=0與方程x=2是2個同解方程.同解是方程之間的一種等價關系，可以用一個簡單的同解方程來代替一個較復雜的方程.同解原理：①方程的2邊加上同一個數或式(式與方程的定義域相同)，方程的解集不變.容易知道“移項”是一種同解變形.②方程的2邊乘以同一個非0的數或不取零值的式(式與方程的定義域相同)，方程的解集不變.

當方程變形不滿足同解原理時，變形后的方程就有可能出現增根或失根.因此在教學時必須注意利用等式性質解一元一次方程并不是沒有原則的使用，是在利用由等式性質導出的“移項”、“去分母(這里指方程的2邊同乘以或除以一個非0的數)”和乘法分配律解一元一次方程.這就是講解例2需要滲透的關鍵點，也是對講解“1例5練”所獲得認識的理性提升和自然延續.

2)從同解原理中可以知道“移項”是同解變形；“去分母”時，方程的2邊同時乘以或除以一個非0的數也是同解變形.這2條構成解一元一次方程的全部依據.由此看來“檢驗”一元一次方程的解是“多余”的，那么教材為何在例2之后編排“檢驗”？解讀不好會對后續學習產生困惑，即學生不清楚到底什么時候需要檢驗方程的解(正常的解一元一次方程不會產生增根和失根)，什么時候不需要檢驗.教學設計時不必過分強調“檢驗”環節，知道通過“檢驗”可以判定解得的“解”是否正確就夠了.原因非常簡單：時候未到！等到學解分式方程并且增根出現時，在學生產生強烈的認知沖突時(增根從哪里來的)，分析強調教學效果會更好.當然更加不必去補充“體現所謂檢驗必要性”的例題了.

3)教材不涉及方程同解原理是為了突出基礎數學的本質和基本思想都是平實樸素、平易近人的，但要教得平易近人需對教材作深入研究.表面上看方程中的“未知量”是不定元，實際上是一個未知量和已知量之間約定關系式中的待定量，是一個確定的數，因此它滿足數的全部運算律.解代數方程的基本原理就是有系統地運用運算律把所給的代數方程簡化，從而確定其中所含的“未知數”所應取之值[1].在簡化一元一次方程的過程中使用“移項”和“去分母”等手段，其本身并不構成解代數方程的核心思想方法，通過這些手段需要表達的是可以通過系統的、程序化的方法達成化未知為已知的目的(算法思想的直接滲透).

由此可知，例2的教學中需要淡化等式性質的直接應用，要注重等式性質和“移項”、“去分母”的交替使用.不必過分強調等式性質的適用性，而要體驗其中“以簡馭繁，化未知為已知”的簡樸道理，體驗解決問題的系統性和規律性，也就是解決問題的程序性，讓算法思想根植于學生的心中.設計好等式基本性質的教學，為進一步學習解方程提供最好的范本.

[1] 項武義．基礎代數學[M]．北京：人民教育出版社，2004．

王紅權，男，杭州市普通教育研究室中學數學教研員，中學高級教師，曾獲杭州市教育系統優秀教師、教壇新秀、優秀黨員，杭州市數學學科帶頭人，中國統計教育學會基礎教育分會理事，浙江省數學會理事，浙江省教育學會中學數學分會常務理事，杭州市數學會秘書長.近年來主持浙江省、杭州市重點規劃課題多項，獲獎多項，參與國家社科、教育部重點課題多項，已在各類雜志發表論文50余篇．

本文是全國教育科學“十一五”規劃2010年教育部重點課題“中小學數學核心內容及其教學的研究”(編號：G0A107010)及2014年浙江省教研課題“中學數學核心概念‘習得型’習題課教學設計研究”(編號：14B002)的研究成果之一．