淺析萬有引力定律及其在高中物理中的應用

王風塵

【摘 要】本文從萬有引力定律的形成、萬有引力定律與重力的關系以及其在航空航天方面的應用。分析在高中教授引力一章內容時遇到一些難點，以及如何突破。

【關鍵詞】萬有引力定律；高中物理；應用

一、萬有引力定律的形成過程

站在巨人肩上的牛頓對伽利略、笛卡爾、會更斯、胡克、哥白尼、開普勒等人的科學研究以及在科研過程中體現的思想加以總結以及進一步總結、闡釋，最終在經典物理學方面做出了杰出的成就。《自然哲學之數學原理》（以下簡稱《原理》）在物理學、方法論方面對人類社會的影響之深遠難以估量。書中提出三大運動定律以及萬有引力定律的內容及其證明，自此科學而又系統的經典物理學在人類的工業進程、文明進程中占據了重要的地位?？v觀牛頓研究引力的整個過程，主要涉及兩個難點：平方反比定律和引力質量與慣性質量的統一。

（1）平方反比定律。牛頓之前，引力平方反比的思想已經出現，胡克很早就認識到圓軌道運行時的平方反比定律，然而開普勒于1609年出版的《新天文學》中發表了兩條行星運動的定律，其中第一條即橢圓軌道定律。科學家們一直以來對橢圓軌道中的平方反比定律都無法給與有效的證明，最后牛頓利用微積分的知識證明出在橢圓軌道中的引力平方反比定律，即。

（2）引力質量與慣性質量。牛頓的萬有引力定律中提出引力F與兩個相互吸引的物體的質量的乘積M·m成正比，即F∝M·m。其中M和m表示的是物體的引力質量。伽利略在研究落體運動時，結合自己的理想斜面實驗，提出當沒有任何阻力的情況下，物體在平直的桌面上會一直勻速運動或靜止。這就是我們熟知的慣性，而且慣性與質量有關。從這里引出了慣性質量。如果將萬有引力與做橢圓軌道運動的物體和地面上物體受到的重力聯系起來，就必須承認慣性質量與引力質量相等。

（3）萬有引力定律形成。萬有引力定律是牛頓力學體系和天體運動的基石。萬有引力告訴我們任何兩個物體之間都存在的引力，然而高中教學時許多學生會有疑問：人教課標版的物理教材中提出，這個公式只適用于兩個質點之間的計算，卻又提到任意兩個物體之間都存在引力。如果兩個物體之間的距離遠遠大于自身的尺寸，兩物體就可以看做質點，所以可以直接利用萬有引力定律計算。一旦兩個物體或其中一個無法看做質點時，針對質量分布均勻的球體可以認為它的質量集中于球心處，這種情況也可以利用萬有引力定律直接計算。其實萬有引力定律是牛頓通過微積分推導出來的，不過由于在高中無法利用微積分進行繁瑣的計算，因此如果兩個物體無法看成質點或者規則的球體則無法進行計算。牛頓的萬有引力定律提出后，理論的正確與否，無疑需要經過大量的事實來驗證。牛頓在《原理》中利用自己的萬有引力定律解釋了潮汐現象，他認為是地球與月球的吸引才出現這種狀況；1843年，亞當斯計算出影響天王星運動的第八顆行星軌道，1846年，法國天文學家勒維耶，獨立完成海王星位置的推算。同年，9月23日，海王星被發現，與勒維耶預測的位置相距不到1°；哈雷彗星的按時回歸等等。天文學上多次重大發現，無不體現了牛頓萬有引力定律的正確性。自此這個年輕的學科在人類世界中擁有了強大的生命力改變了人類的文明進程。

經典力學的基礎是牛頓三大運動定律，萬有引力定律更是建立了人們對牛頓物理的尊敬。牛頓運動定律和萬有引力定律在宏觀、低速、弱引力的廣闊領域，包括天體力學的研究匯總，經受了實踐的檢驗，取得了巨大的成就。人們基于萬有引力不斷的進行著科學探索，其中對重力的研究、對航空航天的探索，都在證實著萬有引力定律的強大生命力。

二、引力與重力的關系

引力和重力都是兩個物體之間的吸引，他們之間既有區別也有聯系。

（1）重力與萬有引力定律的定義。萬有引力中的定義中指出任何兩個物體之間都存在引力的作用。它的定義式告訴我們萬有引力的大小與兩個相互吸引的物體的質量的乘積成正比，與它們之間的距離的平方成反比。重力是由于地球對地球表面附近的物體的吸引而產生的。從定義上我們可以看出萬有引力與重力有著一定的區別。

（2）地球表面處的萬有引力與重力。如果把地球看做質量均勻分布的球體，地球的質量即可以認為集中到地心處，即質心在球心處。地面上的物體由于尺寸較小因此可以看做質點。萬有引力的方向指向地心。地球自轉的影響，導致萬有引力的一個分力需要提供向心力，則另外一個分力就是重力。這種說法是高中物理教學時所用到的方法。向心力是根據力的作用效果來命名的一種力，而重力是性質力。筆者認為按照這種方法教學會給學生帶來一定的誤區，部分學生會記憶成萬有引力可以分解為重力和向心力。高等物理教材中使用慣性離心力來代替萬有引力所需要提供的向心力。

如圖（萬有引力與重力），設物體的質量m=1Kg萬有引力F萬與赤道平面的夾角為β，所以β 代表的就是緯度。重力mg與萬有引力的夾角為α。在赤道處物體所需要的向心力，其中地球自轉周期T=24h，地球半徑吧r=6400km。處于赤道處的該物體所需要的向心力為0.034 N << 9.8 N，如果物體在北極向心力為零。物體所需要的向心力遠小于萬有引力，因此高中階段的計算一般認為地球表面處的重力等與萬有引力，α≈0。令F萬=mg0，利用余弦定理（mω2Rcosβ）三、萬有引力與航天

牛頓曾經提出過自己的關于宇宙航行的設想。根據萬有引力定律計算出：如果想要發射一顆繞地球轉動的衛星需要至少擁有7.9km/s的發射速度。當然開始的時候動力是制約衛星或者宇宙飛船能否順利達到預定軌道的重要因素。隨著導彈等技術的不斷發展以及蘇聯科學家齊奧爾科夫提出了多級火箭的設想之后，經過了全國各界人士的協同合作、大量嘗試后，蘇聯率先發射了自己的第一顆衛星、加加林少校成功坐上宇宙飛船繞地球航行。想要成功發射繞地飛行器，發射時需要達到第一宇宙速度。第一宇宙速度的計算在高中階段涉及兩種方法，其一、萬有引力提供向心力：；其二，地球表面處的重力與萬有引力近似相等（設地球半徑是R）。通過這兩種方法都可以順利的得到第一宇宙速度。第一種方法，當r=R時，第一宇宙速度。由第二種方法得到結果是。經過計算兩種方法的結果是一樣的。不過第二以及第三宇宙速度的推倒需要用到動能與引力勢能的轉化，高中階段不作要求。

四、結束語

牛頓的一生是輝煌的、傳奇的，也是坎坷的一生。不論在生活中的困難有多大，但牛頓如孩童般的求知欲望始終留存。牛頓認為自己不過是在海邊拾貝的一個孩子而已。從萬有引力定律的形成過程，可以看出一個偉大的定律是如何一步步被推出的。牛頓解決重難題并不是一蹴而就的，而是通過長期的思考以及交流才得以完成。高中階段在理論教學的基礎上，結合史實應該進行引力形成過程的講解。從引力在高中階段的應用，我們發現高中階段已經涉及到一個定律的核心思想。高中階段對科學思想、科研方法的培養從萬有引力定律的教學已經有所體現。因此引力的教學教給學生的不僅僅是知識點的理解，也有價值觀上的熏陶。

參考文獻：

[1]漆安慎，杜蟬英.《普通物理學教程（第二版）》.北京：高等教育出版社，2005.190-191