向量在解決高中數學問題中的應用研究

馬原林

【摘 要】在高中數學中向量十分重要，其屬于基礎運算方式，可有效解決各類數學問題。本文介紹了向量概況，重點探討了其在高中數學問題中的應用，旨在充分發揮向量的作用。

【關鍵詞】向量；高中數學；問題；應用

隨著素質教育改革日漸深入，對高中數學教學提出了較高的要求，為了提高學生數學思維能力，教學實踐中應合理運用各類計算方法。高中數學具有一定的復雜性，其理解、運用難度均相對較高，并且涉及諸多的問題，如：平面幾何、不等式證明與解方程等，上述問題解決中均可使用向量，其不僅可簡化運算流程，還可保證處理效果。

1向量的概況

向量是由古希臘學者提出來的，其源于力學、解析幾何，為了表示向量，牛頓采用了有向線段。20世紀末，空間性質和向量運算研究吸引了廣大學者，經不斷探索與實踐，使向量成為了良好的數學體系，其最為顯著的特點便是具備運算通性，它有機結合了抽象及形象思維，降低了抽象問題理解難度，此外，它還擁有較強的可行性[1]。向量類型豐富，常見的有單位向量、相等向量、自由向量等，實踐中可結合具體的使用情況，選取適合的向量，以此保證應用效果[2]。

2向量在解決高中數學問題中的應用

2.1在平面幾何方面

在平面幾何領域中，利用向量的方向、大小等，能夠對點、線端之間的位置、長度等關系進行體現。基于不同的性質，可將向量分為零向量、共線向量、平行響亮。在平面幾何當中，對于一些相關的問題，可以通過向量的知識進行解決，相比于利用幾何知識解題更加便利。

例：某三角形MOA，三個頂點M、O、A的坐標分別為（-3，1）、（2，0）、（0，-2）。點B、C、D分別為線端AO、AM、OM的中點。求解線端BC、CD、BD的方程。

在該問題的解決中，可以對向量知識加以運用。根據題目能夠得出點B、C、D的坐標分別為（1，-1）、（-1.5，-0.5）、（-0.5，0.5）。假設在BC上有一點H（x，y），向量BC和BH共線且平行，因此根據平行關系，能夠對BC的方程進行求解。利用同樣的方法，就能夠得出BD、CD的方程。

2.2 在不等式證明方面

在一些不等式問題的解決當中，也可以對向量的知識進行應用，通過變形處理使問題得到簡化，從而輕易的得出結果。

例：已知x+y+z=1，證明x2+y2+z2≥1/3。

在這一問題的解決當中，可以假設存在兩個向量P、Q，其中向量P=（x，y，z），向量Q等于（1，1）。可知|P×Q|≤|P|×|Q|，即（|x+y+z|）2≤（x2+y2+z2）×3，將x+y+z代入，得出結論x2+y2+z2≥1/3。

根據此題能夠看出，在對不等式問題進行解決的過程中，如果利用傳統方法進行解題，將會十分繁瑣和復雜。因此，可以利用相應的向量來代替不等式當中的已知數和未知數，然后將抽象的不等式關系轉換為具體的向量關系，就能夠輕易的得出結論。需要注意，在利用向量證明不等式的過程中，應當掌握不等式的特點，找出向量切入點，才能準確的解題[3]。

2.3在解方程方面

在高中數學中，很多方程如果使用技巧變形將很難進行求解。而使用向量法，則能夠使方程的求解得到簡化。例如，已知x，y，z三個實數，能夠使在方程4x2+3y+z=13和4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82同時成立，求x，y，z的值。在求解該問題時，使用向量法可以先將兩個方程相加，然后對方程兩端進行配方，從而得到（2x）2+（3y+3）2+（z+2）2=108。通過觀察可以發現，得到的式子與向量模一致，所以可以設向量P=（2x，3y+3，z+2），Q=（1，1，1），從而得到P的摸值為6，Q模值為，向量PQ=18≤|P||Q|。所以，只有在2x=3y+3=z+2>0時，不等式才能夠成立。由此，則能夠完成方程的求解。

2.4在三角函數方面

在三角函數解題上，同樣可以使用向量法為相關問題的求解提供便利。例如，已知cosa+cosb-cos（a+b）=3/2，求a，b值。對原式變形可得，（1-cosb）cosa+sinasinb=3/2-cosb。而該式與向量數量積保持一致，所以可以設向量P=（1-cosb，sinb），Q=（cosa，sina），PQ=3/2-cosb，|P||Q|=。經過計算可得，cosb=1/2，所以b=60°。將b的值帶入原式，則能夠完成a的求解。從整個解題步驟來看，使用向量法進行三角函數的求解，能夠使其變形步驟得到簡化，所以能夠使三角函數問題的解決效率得到提高。

3總結

總之，向量作為數學學習工具，具有一定的有效性與可操作性，將其應用于高中數學問題，保證了處理質量。本文僅闡述了其在平面幾何、不等式證明及三角函數等方面的運用，日后，通過向量的運用，高中生的數學思維及能力將大幅度提高。

參考文獻：

[1]盧向敏.數形結合方法在高中數學教學中的應用[D].內蒙古師范大學，2013.

[2]袁晨均.向量在解決高中數學問題中的運用解析[J].文理導航（中旬），2015，11：18.

[3]李卓潔.關于向量在解決高中數學問題中的應用研究[J].信息化建設，2015，06：212.