例談“學講”在平幾綜合題教學中的運用

江蘇省新沂市馬陵山中學　陸敬廣

例談“學講”在平幾綜合題教學中的運用

江蘇省新沂市馬陵山中學陸敬廣

“學講方式”的教學理念已在廣大教師的心目中扎下了根。在這種形勢下，一個有上進心的教師，決不會在怎樣傳授知識上下功夫，而應(yīng)該在指導學生怎樣掌握知識、提高能力上下功夫。

學講方式平幾綜合題數(shù)形結(jié)合

“學講方式”正在我市如火如荼地開展著，可謂形勢一片大好。一些學科請了專家進行解讀，更多的學科舉辦各級各類的“學講”公開課。從這些講座、公開課可以看出，“以學定教”的教學理念已在廣大教師的心目中扎下了根，“學講方式”已為大家所認可。在這種形勢下，一個有上進心的教師，決不會在怎樣傳授知識上下功夫，而應(yīng)該在指導學生怎樣掌握知識、提高能力上下功夫。打個比方說，我們交給學生一塊金子，他用完了就沒有了，若是教給他點石成金的“法術(shù)”，那他就會終身享用不盡。目前，國家需要我們培養(yǎng)出具有開拓精神的新世紀人才，更需要我們對學生的學法加強研究和指導。可以說，“學講方式”就是在這種大背景下產(chǎn)生的。下面以解平面幾何綜合題為例，談?wù)劇皩W講方式”在數(shù)學教學中的運用。

綜合題，一般來說用到的基礎(chǔ)知識較多，一題可以考查多個知識點的掌握情況，而考查的知識點在教材中的跨度較大，隱蔽性較強。從綜合題的構(gòu)造上看，很多是多個知識點或簡單習題的組合。我們要提高解綜合題的能力，就是要加強思維鍛煉，善于從宏觀上把握住綜合題的實質(zhì)，化整為零，尋求解綜合題的突破口。初中數(shù)學中的平面幾何綜合題，一般地被學生視為較棘手的問題，尤其是需要添加一些輔助線，更使一些學生望而生畏，甚至不敢問津。

添加輔助線的工作在幾何證題中猶如架橋，使此岸到彼岸成通途。這橋怎么架？架在何處？自然大有講究。我們常常遇到這樣的情況：信手作一條輔助線，發(fā)現(xiàn)這線不能解決問題，再做一條，致使輔助線作了不少，弄得自己也搞糊涂了，問題仍未解決。所以在添輔助線之前，首先必須確定添在何處；第二確定添加什么樣的輔助線。這時，我們就可以把“學講方式”用到添加輔線上來。先讓學生獨立思考，然后再進行小組合作，最后確定如何添加輔助線。一般地說，在已知條件較為集中的地方或離結(jié)論較近的地方添加較為有利，或者添加輔助線使題設(shè)與結(jié)論聯(lián)系起來，使問題變得明朗化。

如已知AB是⊙O的直徑，點M、N在AB所在的直徑上，且MA=AB=BN，而MP切⊙O于點C，求證：∠MCA=∠PCN。（圖略）本題的已知條件主要有三條，即“切線、直徑、三等分點”，分析問題的落腳點不同，添加輔助線的方法也各異。（1）以“切線”為思考主途徑，結(jié)合其他條件。連OC，可知OC⊥MP.為利用“三等分點”條件，不妨過M作直線平行于NC，交CA延長線于E，交CO延長線于F.這樣，可將∠PCN轉(zhuǎn)移到∠PMF，可改證∠MCA=∠FMC，在Rt△MCF中，只須證E為MF中點即可。由ME/CN=1/2，MF/CN=1，可知E為MF中點，結(jié)論易證。另外，由OA=1/2AM，OC=OF，知A為△CMF重心，也可推得E為MF中點，可得結(jié)論。（2）以直徑為思考主途徑，結(jié)合其他條件。連BC，則∠ACB=90°，過B作EF∥NC交AC于E，交MC于F，于是∠PCN轉(zhuǎn)化為∠CFE。只須證CE=FE即可。不妨令MA=AB=BN=l，由MC2=MA·MB，可得，由△MCA∽△MBC知CA/BC= MC/MB=，在Rt△ABC中，由勾股定理得；又E為 AC中點，故，在Rt△CEB中可求得，所以，BF=，EF=BF-BE=所以EF=EC，結(jié)論易得。若延長N C，將∠PCN轉(zhuǎn)化為其對頂角，則可改證M C為△A CN的外角平分線，由，所以AC/CN=1/3，又MA/ MN=1/3，故AC/CN=MA/MN，證法則更顯簡捷巧妙。

學生通過“學講方式”中的“小組合作”，肯定會提出不同的看法。如以上添加輔助線的方法除以“切線”、“直徑”為突破口外，都以“等分點”所揭示的“平行線與線段成比例”這一重要性質(zhì)作工具，把題設(shè)和結(jié)論巧妙地結(jié)合起來，使問題順利得以解決。解決本題如能把三角知識與平幾知識有機地結(jié)合起來，更可以使我們思維開闊，得心應(yīng)手。不妨設(shè)MA=AB=BN=1，在Rt△CMO中，可求得cos∠COM=1/3，在△COA中，用余弦定理可求，在△CON中（利用cos∠CON= -1/3），可知AC/CN=AO/ON，由內(nèi)角平分線定理的逆定理得∠ACO=∠NCO，故∠MCA=∠PCN。以上解法僅連CO，但是用三角知識把三個主要條件聯(lián)系起來，就輕而易舉地解決了問題。只要我們把握住思維規(guī)律，像刑偵人員破案那樣，充分利用已知條件，善于發(fā)現(xiàn)隱含條件，發(fā)揮所學過知識的作用，順藤摸瓜，定能獲得成功。解題的過程就是鍛煉思維的過程，只要你放得開，思路活，就能逐漸提高解綜合題的能力。

實施“學講方式”，當然要強調(diào)學生的課前自主先學；但在課堂上，就要讓學生跟著老師的思路，默默地回憶，弄懂預(yù)習時不懂的地方。同學之間的交流，也要多與老師接觸，吸其所長。每個人的思想和思維方法都是不同的，如果能從其他人那兒吸取到長處來彌補自己的短處，則大有裨益。

因為現(xiàn)在還處在“學講方式”的起步階段，“學講方式”雖然遍地開花，卻未能遍地結(jié)果，所以也不免暴露出一些問題，特別是課堂教學中的一些缺失現(xiàn)象，是值得我們老師注意并加以反思的。