歸納推理在高中拋物線的定義教學中新思考

陳永紅

【內容摘要】提高學生數學探究和歸納推理能力是新課標要求。新課改要求教師在教學中要充分利用演繹和歸納推理法，讓學生掌握數學知識點之間的脈絡，或者演繹，或者推理，將所學的知識上升為思維層面，從而幫助學生對前面所學數學知識進行綜合運用，讓學生能更深層次地掌握所學知識。

【關鍵詞】高中數學 歸納推理 有效引導 提高效益

歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。歸納推理能夠發現新事實、獲得新結論，是各種各樣的探索及科學發現的重要手段。在數學教學中，歸納推理有著其他推理無可比擬的優勢，能起到神奇的功效。要重視歸納推理在教學中的應用！這一想法在我重新面對拋物線的定義教學時逐漸清晰起來。

一、巧用歸納推理，化模糊為清晰

圓錐曲線定義的教學過程中，我們大多應用類比推理。從已學圓的定義：平面內到一定點的距離等于一定值的點的軌跡是圓。聯想：平面內到兩定點的距離之和等于定值的點的軌跡是什么？叫學生用一根繩子親自動手進行試驗之后用幾何畫板進行動態演示，學生直觀得知該軌跡是橢圓。再聯想：平面內到兩定點的距離之差等于定值的點的軌跡是什么？用拉鏈進行演示之后用幾何畫板進行動態演示，學生直觀得知該軌跡是雙曲線。這三類曲線的類比點明顯，圖像特征明確，故而學生接受起來沒有異議。常規的拋物線定義教學也用類比推理，但是顯得有點勉強、突兀。首先拋物線定義域前兩個曲線的相似點不夠突出，其次拋物線的圖像是單支曲線。從前幾屆的學生反饋的信息發現：學生總有疑問滿足到一定點F的距離等于到一定直線l（F ）的距離的點的軌跡就是拋物線？甚至有的同學稱之為單曲線。又已知二次函數的圖像是拋物線，此拋物線是否就是彼拋物線？所以拋物線定義及標準方程教完之后，還得花時間證明二次函數圖像上的點也滿足到一定點F的距離等于到一定直線l的距離。對此，我就拋物線定義的教學設計做了調整，進行了新嘗試。在學生已建立的認知“二次函數的圖像是拋物線”的基礎上去挖掘出更深層次的規律性的結論，再提煉成拋物線的定義。

我對拋物線的定義的教學做了多元化設計，學生可以從中得到新知：到一定點F的距離等于到一定直線l（F ）的距離的點的軌跡就是拋物線。由具體到抽象，有由特殊到一般，學生對拋物線的定義也就從模糊到清晰。

在我嘗試用歸納推理講解拋物線的定義之后，幾位數學教師就這一設計進行了討論。對此設計各有不同的見解，仁者見仁智者見智。有的說考慮知識的延續性，還是原有的教法各自然，反正定義的東西怎么說就怎么是，開門見山，直奔主題，讓學生記下就是；也有人贊同我的新思路，認為不妨一試。應用歸納推理進行概念教學，給學生一個很好的導向：對一個新的問題、對一個模糊的概念可以嘗試用歸納推理理出條理及思路。如果說拋物線的定義應用歸納推理能使得模糊的概念清晰化還有教師不贊同的話，那么微積分基本定理應用歸納推理達到的效果則是相當的明顯，這一點毋庸置疑。

二、妙用歸納推理，化深奧為淺顯

從淺顯的實際情境出發歸納出深奧的數學理論，達到化深奧為淺顯、化難為易的目的，有助于學生對知識的理解與記憶，達到事半功倍的效果。

如微積分基本定理（牛頓-萊布尼茲公式）：

其中 。

揭示導數與定積分之間的內在聯系，提供計算微積分的捷徑，是微積分乃至整個高等數學的重要定理，能正確理解并掌握該定理對學生計算定積分提供工具，并為學生進一步學習高等數學奠定堅實的基礎。但是該定理的探究及證明對高中一般校的大部分學生而言很是深奧，不好理解。為此，我設計了這樣的教學思路。

設質點M的運動速度

，時間為t，位移s（t）。求質點M在t∈[a，b]的位移 。

分析：從定積分定義的角度可知：

但是利用定積分定義不易求得其值。從這個具體的運動位移問題出發，問學生如何求 的值？水到渠成，學生自然而然提煉出一般性的結論。這樣的設計不僅讓學生容易理解并接受該定理，而且讓學生知道歸納推理在數學發現中的重要作用，同時也讓學生體會到原來數學可以這么學，充分體驗到成功的喜悅。接下來在讓學生去研究此定理的證明過程就有了信心及底氣，這原本深奧、晦澀、難懂、抽象的數學證明也就迎刃而解。

三、思用歸納推理，化抽象為具體

眾所周知，三角函數的公式多，變化多。在我們看來很簡單的公式及結論對一般校的大部分學生而言像一團亂麻，纏來繞去總是理不清。如誘導公式的推導及記憶。我們的教學設計大多是從三角函數的定義：角 的終邊與單位圓交于一點P 則