概念理解：聚焦本質，思想統領

朱裕華

[摘 要]從數學理解入手，提高概念的理解水平，應聚焦概念的本質，從外延向內涵推進，突出核心概念的思維建構過程；由數學思想統領，從表面向深層發展，突出思想方法的領悟和應用過程。

[關鍵詞]數學理解 概念 數學本質 數學思想方法 數形結合 函數思想

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）23-028

“數學理解的核心是對基本概念及其所反映的數學思想方法的理解。”從數學理解入手，提高概念的理解水平，應成為新課程背景下概念教學的應然追求。那么，數學概念課到底應傳遞給學生什么樣的數學理解呢？我經過實踐認為，只有善于抓住概念的核心內涵和思想方法，更多地呈現知識發生、發展的過程，才能使學生的認知更生動、更完整、更靈活、更深刻。下面，談談我對“正比例的意義”一課的教學實踐與思考。

一、有效載體——促概念從外延到內涵的推進

對概念的理解，首先是內涵和外延的有效表達。概念的內涵就是概念對事物的特有屬性的反映，外延就是具體的概念所反映的特有屬性的那些事物。

如教材呈現如下圖：

解讀教材，“兩種相關聯的量”是判斷正比例關系的必要前提，由此可認為，“變化的量之間的關系”應為這一概念的外延，“比值一定”則是正比例關系的核心。然而，“教材無非是個例子”，僅以這樣一個正面的例子就想讓學生理解正比例意義的概念顯然是遠遠不夠的，這也正是很多教師所犯的錯誤。課堂教學中唯教材是尊，僅以本為本，缺少概念外延到內涵推進的有效載體，導致學生無法完整地經歷概念形成的一般過程。

1.提供豐富的生活素材

教師應創造性地使用教材，積極開發、利用教學資源，提供豐富的學習素材，挖掘隱含在數學知識背后的豐富內涵。因此，在本課教學內容的選擇和呈現上，我給學生提供的學習素材均來自于學生身邊的生活例子，如汽車行駛的路程和時間變化、摩天輪乘坐的時間和高度的變化、購物時總價和數量的變化等，并改變原教材中單一的表格式呈現，使內容更加生動有趣。這些學習素材貫穿于每一個環節的教學中，是學生研究規律的具體載體，也是實現概念意義構建的有效載體。

2.經歷完整的建構過程

課堂教學中，教師應抓住知識間的脈絡，把握概念間的聯系，引領學生有層次地經歷概念的建構過程。

（1）分類感知，弄清研究范圍。

認識相關聯的量是判斷正比例的前提條件。通過對素材的初步觀察，使學生理解路程隨著時間的變化而變化，路程和時間是兩種相關聯的量，并用這樣的判斷方法遷移至其他兩種量是不是相關聯，讓學生學會從新的角度重新審視和理解一些常見的變化的量。

（2）引領點撥，明確研究主題。

通過對素材的深入研究，使學生充分感受到路程和時間之間的聯系與變化，能從變化的量中找到不變的量，經歷尋找和發現規律的完整過程，初步了解路程和時間這兩種量的特殊關系模型，進而明確研究的主題，為后面的自主研究提供范式。

（3）比較分析，自主構建概念。

繼續利用這些素材，讓學生交流發現的各種規律，然后篩選、剝離出與路程和時間的變化規律不同的例子，提煉例子中共同的變化規律，逐步逼近概念的內涵。

教學片斷：自主探究，發現共性特征

師：在這些圖表（略）中，哪幾組量的變化規律與路程和時間的變化規律是完全一致的？你會排除哪些？ 同時說明理由。

生1：我會排除圖二，因為圖二中時間和高度的變化方向是不一致的。

生2：我會排除表五中面積和邊長的關系，因為面積和邊長的比值不一定。

生3：我還會排除表四，因為爸爸的年齡和小明的年齡是差一定，而不是比值一定。

師：那剩余的兩張表中兩種相關聯的量的變化規律與路程和時間的變化規律一樣嗎？你能說說它們在變化過程中有什么相同的地方嗎？

生4：都有兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也跟著變化；兩種量的變化方向一致；兩種量相對應的比的比值一定。

師（揭示）：當兩種量具有這樣的關系時，我們就說這兩種量成正比例關系。這也是正比例的意義。

……

（4）提煉模型，明晰本質屬性。

引導學生結合正比例的例子理解正比例的意義，并再次通過反例，使學生明確正比例意義的判斷要素，進一步凸顯正比例意義的本質屬性，即比值一定，由此提煉出正比例關系的模型，即y / x=k（一定）。

教學片斷：凸顯核心特征，提煉正比例模型

師：路程和時間是兩種相關聯的量，時間變化，路程也隨著變化，當路程和時間相對應的比的比值總是一定（也就是速度）時，我們就說路程和時間成正比例關系，路程和時間就是成正比例的量。

師：你也能像老師一樣來說說總價和數量的關系嗎？[隨著學生交流，師板書：鉛筆 / 數量=單價（一定）]

師：周長與邊長成正比例關系嗎？為什么？[板書：周長 / 邊長=4（一定）]（生答略）

師：那剛才圖二中高度和時間成正比例嗎？為什么？表四中爸爸的年齡和小明的年齡成正比例嗎？表五中正方形的面積和邊長呢？（生答略）

師：看來，判斷兩種相關聯的量是不是成正比例，必須符合哪些條件？（明確判斷要素：相關聯的量，變化方向一致，比值一定）其中最主要的特征又是什么？（板書：比值一定，只要比值一定，前兩個條件也必然符合了）

師：如果用x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，正比例關系可以用怎樣的式子表示？[板書：y / x=k（一定）]

……

教學實踐表明，豐富的學習素材，使學生經歷“變化的量——兩種相關聯的量——一變化方向一致——不變的量——比值一定……y / x=k（一定）”的正比例意義的構建過程。

二、數形結合——促概念從表面到深層的理解

著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休。”“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。應用數形結合思想，可以把抽象的數量關系與直觀的幾何圖形結合起來，通過抽象思維與形象思維的結合，促進概念理解從表面到深層的躍進。

1.幾何直觀，動態呈現過程

第一次教學，我和學生從對左下圖的靜態觀察，發現橫軸在變化——表示時間在推移，縱軸在變化——表示路程在變化，由此猜想“時間和路程的變化，路程隨著時間的變化而變化”。但是，細細想來，這樣的變化難道僅僅體現在橫軸和縱軸上嗎？顯然不止。

“幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學。”要突破這一認知局限，僅靠靜態的想象是不夠的，我認為要讓變化過程“動”起來，就必須借助直觀演示。因此，第二次教學，在學生認識“時間在變化，路程也隨著變化”后，我先通過多媒體動態演示橫軸上的時間點與直線上對應的點同時、連續運動變化的過程，再演示縱軸上的路程點與直線上對應的點同時、連續運動變化的過程，接著演示對應于直線上的一個點及路程和時間同時、連續運動變化的過程（如上右圖）。由最初的靜態觀察改為現在的動態呈現，化靜為動，讓學生直觀、形象地感受到時間和路程的變化，深刻認識相關聯的量，為后面研究對應的路程和時間之間的關系做好準備。

2.一一對應，滲透函數思想

教學片斷：探究兩種相關聯的量的變化規律

師：路程和時間是兩種相關聯的量，那路程是怎樣隨著時間的變化而變化的呢？你能找到哪些變化規律呢？

生：時間在增加，路程也在增加。

師：能具體說說嗎？

學生由對圖像的觀察轉到對表格的分析，發現一：隨著這些點的變化，每個點所表示的時間在增加，相對應的路程也在增加，時間和路程是同時增加的，它們的變化方向是一致的；反過來看也如此。發現二：可以計算每個點所對應的路程和時間的比值，發現比值不變。

……

數學思想方法是形成數學意識和數學能力的橋梁，是靈活運用數學知識、數學技能和數學方法解決實際問題的靈魂。對圖中規律的觀察，我的教學定位是通過研究直線上的點，找到每個點所表示的時間和它對應的路程。通過這些變化的點的研究，不僅可以發現變化方向一致，更主要的是能發現不變的量，而要發現這個不變的量，則要利用以前學過的比的知識，將研究目光聚焦到路程和它對應的時間的比的比值的研究上。“變化”“不變”“對應”“比值”這些關鍵詞即研究要素，從對圖上點的直觀理解到對點所對應的路程和時間的數據分析，從“變化”中發現“不變”，即對應的路程和時間的比值一定。這樣教學，使圖像、表格、式子在研究中實現了有效承接與轉化，初步滲透了函數思想。

3.數形轉化，實現回歸和超越

教學片斷：成正比例的量圖像特征的猜想

師（出示表三、表五，略）：這是成正比例的兩組量，表中的各組數據可以用圖中的點來表示，想象一下，如果連接圖中各點，會是什么形狀？

生：會是一條直線。

（課件演示，發現確實是一條直線）

師：成正比例的兩個量除了比值一定外，是不是還有其他特征呢？我們下節課繼續學習！

……

在課的結尾由已經判斷確認的兩個成正比例量的例子，通過描點、猜想、連線，使學生對正比例的特征產生新的探究欲望，從而對正比例圖像的特征產生初步的猜想。

總之，教師不僅要在揭示概念的內涵上下工夫，而且要從數學思想方法的高度進行概念教學，這樣才能促進學生的數學理解，使學生獲得所學的知識。

（責編 藍 天）