高中數學課堂的解題反思

楊新運

摘 要：反思是高中數學課堂解題教學中不可或缺的重要環節。文章主要闡述數學解題完成后，如何引導學生對解題條件、解題方法、解題結果進行反思。運用具體實例分析，引導學生解題時要善于挖掘題中的隱含條件，通過一題多解、一題多變及多題一解的反思訓練，找到解題規律，掌握解題方法，提升解題經驗；最后再對解題結果進行反思，檢驗解題結果的完備性與合理性。這樣不僅提高學生的解題能力，還培養學生的發散思維能力與創造性思維能力。

關鍵詞：高中數學；課堂教學；反思；解題條件；解題方法；解題結果

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2016）22-0062-02

數學教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）教授指出：“反思是數學思維活動的核心和動力。”適當反思，能提高學生的理解能力和思維能力。反思就是學生在學習過程中不斷進行概括、總結，對自己思維過程與結果進行再認識、再加工的檢驗過程，是學習中不可缺少的重要一環。習題是數學的“靈魂”，數學的學習是離不開解題的。在進行高中數學解題教學時，教師要引導學生積極地進行解題后的反思：反思題目的解題條件是否正確使用，反思題目是否有一題多解、一題多變，反思解題結果是否完整，結論是否正確等問題。在一系列的解題反思過程中，重視提高學生的解題能力，培養學生良好的思維品質與學習習慣。

一、反思解題條件

解題時的關鍵前提是看清題目的條件，然后尋找已知條件與問題之間的聯系，利用學過的知識方法進行解析。有些學生在解題過程中，經常忽略題中的重要條件或對這些條件重視程度不夠，導致解題結果失誤。因此，在解題教學過程中，注重引導學生反思解題條件，是十分重要的。

通過以上例子可以看出，在解題過程中認真觀察題目的解題條件是多么重要。不僅要考慮直觀給出的條件，還得挖掘題目中隱含的條件。因此，教師應該教會學生如何反思解題條件，重視解題條件的運用，保證解題順利進行。

二、反思解題方法

學生做完一道題后，不僅要簡單回顧推理過程或檢驗運算結果，還應根據題目特點進行觀察與對比，反思本題還有沒有新的解法，若有另解，則應分析比較哪種解法更優；本題跟前面做過的什么題目相似，能否總結一下此類題目的一般規律；本題還能否進行變式、擴展和引申等等。要讓學生開闊思維，理清解題思路，找到解題規律，權衡解法優劣，使解題能力更上一層樓。

1. 一題多解

一個數學問題，從不同角度考慮，往往有不同的解法，這就是常講的“一題多解”。一題多解可以培養學生的發散思維能力，讓學生體會不同解法的優劣，有利于調動學生學習積極性。

以上一題多解，不僅看到知識的內在關聯、靈活轉化和巧妙運用，還復習了證明等式的思路與方法。通過一題多解，有利于培養學生的創造性思維，使學生不僅僅滿足得到一道習題的答案，而去追求更簡便、更創新的解題方法。適當的一題多解，可以激發學生再發現與再創造的欲望，防止出現思維定式，鍛煉思維的廣闊性、靈活性，從而提高學生解決數學問題的能力。

2. 多題一解

3. 一題多變

有些數學問題可以從另外的角度提出問題，或者改變一下條件，又可以變成一道新的問題，這種方法稱為“一題多變”。一題多變能讓學生更好地理解問題的本質，增強創新思維能力，還能幫助學生對知識的系統性、特殊性與廣泛性進行深刻理解。例如：求二次函數f（x）=x2-2x-3的最值，可以做如下的變式。變式一：當x∈[-2，2]時，求f（x）=x2-2x-3的最值。變式二：當x∈[-a，a]時，求f（x）=x2-2x-3的最值。變式三：當x∈[-2，5]時，求f（x）=x2-2x-3的最值。這時候，啟發學生深入思考，經過一定時間的反思，學生又提出了以下變式：當x∈[0，2]時，函數y=x2-2ax+a2-2a+2有最小值5，求實數a的值。通過對一題多變的反思，可以對某些知識點進行系統分析，挖掘知識間的內在關聯，使知識系統化，提高學生審題能力、應變能力。重視一題多變的訓練，可以促進知識整合，提升綜合運用能力，達到事半功倍的效果。

三、反思解題結果

數學教育家波利亞說過，聰明的人從結果開始。通過對結果的反思，能發現和糾正運算中的失誤，或對解題結果的完備性、合理性進行檢驗，找出問題所在，然后進行適當的調整。教學中應有意識地選用一些易錯題，引導學生進行解題后的反思。

1. 反思解題結果的完備性

在完成數學解題后，老師應該引導學生認真思考解題結果是否完善，有沒有遺漏的情況，以保證解題的正確性。如下面一個問題，已知圓C：x2+y2-2x-7=0，求過點P（3，4）且被圓C截得的弦長為4的弦所在的直線方程。學生很容易發生漏解的情況，多數學生這樣解答：設過點P的直線方程為y-4=k（x-3），然后求出圓心（1，0）到直線的距離d=，最后利用弦心距、半徑及半弦長構成的勾股定理關系，解得k=，代入所設直線方程得到3x-4y+7=0。而這個結果是有遺漏的，如果結合一下圖形進行反思推理，就可以發現還有一條斜率不存在的直線符合題意，即x=3。像這樣的題目，學生容易受固定思維的影響，認為直線斜率一定存在。因此，教師在解析幾何問題的講解時，應讓學生多動手作圖，把抽象的問題具體化，并對解題結果進行反思對比，保證解題結果的完備性及正確性。

2. 反思解題結果的合理性

有些同學做作業只追求速度不注重質量，解完題目就不予理睬，由此產生許多意想不到的錯誤。比如，結論荒唐、不符合實際要求，以特殊代替一般，以日常概念代替科學概念等。因此，在解題教學時，要引導學生認真對結果的合理性進行反思。例如：在△ABC中，已知a=2，b=2，C=15°，求A。有同學給出這樣的解題過程：由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos15°=8-4，所以，又由正弦定理得sinA，而0°

四、結束語

總之，解題后的反思是十分重要的，如果不主動反思，解題能力和思維能力很難獲得質的提升。學生在解題完成后，應當認真地對題目進行反思總結，不斷提出問題與解決問題，使自己掌握更多的數學知識和能力。解題后的反思與交流，讓學生獲得的不僅是數學知識與方法，還有思維能力的鍛煉與提升，情感的交流與碰撞等等。所以，教師在解題教學中應重視反思，鼓勵學生反思，并巧妙利用反思，使數學課堂跌宕起伏，激發學生的學習興趣，讓學生樂于解題，善于解題，在解題反思中體驗成功的喜悅，獲得學習上的突破與進步。

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