初中數學習題及例題應用研究

許小衛

[摘 要] 初中數學的例題和習題是數學教學的重要組成部分，數學習題和例題的講解和練習占據了大部分的課堂時間，如何利用例題和習題培養學生的數學能力，不僅取決于教師還取決于學生. 本文首先就數學習題和例題的種類進行了分類，之后從教師和學生不同的維度分析了當前初中數學例題及習題的教學現狀，并分析了影響初中數學習題及例題的教學因素，最終提出例題和習題設計的策略，為教師在數學教學中對例題和習題的選擇與設計提供參考.

[關鍵詞] 初中數學；例題；習題；應用；研究

在初中數學教學中，學生接受知識、培養數學能力的主要途徑就是課堂教學，因此，課堂教學的好壞直接關系著初中學生數學的學習狀況. 縱觀整個初中數學課堂，我們不難發現數學習題和例題的講解和練習占據了大部分的課堂時間，因此，習題和例題的講解狀況直接關系著數學課堂教學的效果，對于落實數學素質教育、培養學生的數學能力具有重要的意義.

數學例題和習題的種類

數學例題根據用途可以分為兩類，一類是引入新知識的實際事例，另一類就是為了加深學生理解的鞏固類例題.

關于數學中的習題浩如煙海，學好數學并不能夠將數學中的所有習題做完，因此，了解數學習題的分類對于教師的教學和學生的學習都具有重要的意義. 數學習題按照形式可以分為求解類題目和求證類題目；按照知識的內容又可以分為代數題、三角題、幾何題等；按照教學的需求則可分為口答題、討論題、復習題、檢測題和考試題等；同時根據回答的形式的不同又可以分為選擇題、填空題、計算題和證明題等；根據解題方法、解題依據和習題條件三要素分類又可以將數學習題分為標準題、訓練題、探索性題和問題性題等.

當前初中數學例題及習題教學

現狀

1. 以追求高分為目標，教學理念落后

現階段很多教師的教學主要圍繞著提高學生的學習成績進行，考試考什么內容，教師就講解什么知識，圍繞著要考查的內容，選擇相關的例題和習題，通過這些例題和習題的講解練習讓學生掌握這類問題的解題思路，這就是實質上的應試教育. 這樣的教學方式，雖然在短期內對學生學習成績的提高具有明顯的效果，但是從學生發展的長遠角度來看，這樣的教學方式不利于學生思維能力的發展，導致學生最終成為高分低能的缺陷型人才，與我國推行的素質教育的人才培養目標背道而馳，沒有發揮出數學教學的價值和作用.

2. 教學方式和方法不當

在教學方式上，多數教師還是以講授為主，沒有凸顯出學生在教學過程中的主體地位，一直沿用數學教學中較為有特色的理論：“精講多練”. 為了將某個知識點講透，教師就會把學生當作是一個接受知識的容器，重復不斷地講述，全然不顧學生是否能夠吸收所講授的知識. 這種教學方式下培養出來的學生，僅僅是沿著教師的思維在思考，并不利于形成自己的解題思維，更不利于學生數學思維方式的培養. 在教學方法上，教師注重結果而忽視了學生的學習過程，尤其是對于一些公式和定理的學習，僅僅要學生記住，不注重學生對這些知識的理解，這些公式中存在的一些數學思想，學生根本無法體會，教師僅僅是告訴學生就是這樣套用公式和定理來進行計算，卻不告訴學生為什么這樣去做.

3. 教材的使用不夠靈活

教材是教師進行數學教學活動的主要依據和參考，教材中知識點都是通過例題和習題的形式來表現，另外通過這些例題和習題對解題過程的具體步驟做了明確的規定. 在教學中，很多教師往往將過多的精力放在問題的解決方法上，忽視了對教材的深入研究. 在教學過程中死板地應用教材，不能夠對教材進行創造性地發揮，導致學生的學也就缺乏了靈活性.

4. 學生對數學認識存在片面性

教學活動是教師和學生的雙邊活動，教師和學生對數學習題和例題的認識影響著數學的整體教學狀況. 在西方一些發達國家，學生對于數學的認識是：“數學就是一個學習的過程，是用來解決問題，而后獲得一種體驗的學科. ”而在我國，大多數學生認為：“數學就是一門學科，就是為了解決一道問題. ”受數學教師教學方式的影響，很多學生對于數學的概念、法則之間的聯系根本看不透徹，對于數學知識的體系化沒有概念，都是孤立地拿出來套用. 還有很多學生根本就看不到數學與現實生活之間的聯系，認為數學就是用來解決課堂和考試中教師所提出的問題，與現實生活沒有什么聯系，離開了學習，根本感覺不到數學的重要性.

還有相當大一部分學生對數學學習的目標較為模糊，對于他們來說，做數學練習題不是為了提高自己的數學思維能力，而是為了提高近期的數學成績，他們認為數學習題就要多做多練，提高數學成績的一個重要的途徑就是做大量的數學題. 因此，學生會花費大量的時間在數學練習題上，以做練習題數量的多少，作為衡量數學學習努力與否的標準.

影響例題和習題教學的因素

1. 數學的學科特點

首先，數學知識具有一定的抽象性，例如，簡單的求3+4和的運算，在實際生活中它可以代表3個冰箱和4個冰箱，也可以代表3個人和4個人，但是在數學中，我們只研究數值，只研究3+4這一運算. 幾何中的線條也是撇開了現實生活中線條的彈性、質量等特性，直接來研究“向兩方無限延伸”這一特性. 其次，數學知識具有精確性和廣泛性，數學中的定義和定理都是無可爭辯的，并且在人們的日常生活中，無時無刻能離得開數學，從簡單的技術革新到復雜的衛星發射，都離不開數學的精密計算.

在教材中，數學知識體現出來的邏輯體系都是經過加工整理提煉后的抽象思維的結果，使得數學中的思維過程和抽象過程被掩蓋了起來，這非常容易使我們在教學過程中僅僅重視結果，而忽視了思維活動的過程. 因此在教學中教師要合理地設置教學的情景，爭取讓這種數學思維的過程再現，讓學生經歷數學的抽象階段.

2. 初中學生的認知特點

“世上無難事，只怕有心人”這句話講出了做好一件事與人的內心有著密切的關系，因此，了解中學生的心理特點，運用合適的教學方法，有利于學生對數學知識的掌握和理解. 在初中階段，開始明確了學習的目的性，能夠主動地進行模仿和創造性學習. 但學生的心理還不成熟，課上的注意力不夠集中，愛動、好玩，雖然能夠較為自覺地去完成學習任務，但是缺乏自我監督. 在思維的發展水平上，抽象思維開始迅速發展，但是具體形象思維仍然起重要作用. 初中生對事物的認識還具有片面性，因此，教師在組織教學的過程中要充分調動學生學習的積極性，培養學生的學習興趣，通過數學例題和習題進一步培養學生的抽象思維能力.

3. 教師的教學狀況

教師的專業知識水平和教學方式的采用直接影響著教學活動的實施，在數學教學過程中僅僅充滿熱情是不夠的，還需要注重教學方法的選擇. 合適的教學方法能夠激發學生的學習興趣，提高學習效率. 同時，教師的語言也是影響數學教學效果的重要因素，準確、簡潔、風趣的談吐能夠對學生的數學學習產生深遠的影響，能夠激發學生的求知欲，使教學活動收到意想不到的效果.

數學例題及習題的選擇與設計

1. 重視問題情境的設計，引導學生學習

在數學教學中，可以通過設計多樣化的情境，引導學生的思維一步步地深入，幫助學生實現現有知識和原有知識之間的轉化. 通過情景的設置拉近數學與現實生活的距離，激發學生的學習熱情. 例如，在學習《圓》這一章節的過程中，引導學生思考：為什么汽車的車輪要設計為圓形，而不是三角形或者別的形狀？以此引導學生積極思考，尋找圓的特性.

2. 注重講授例題和習題背后的數學思想

數學題目是死的，但是數學解題的方法是活的，教師不可能將所有的數學題目教給學生，但是可以教給學生解題的思想. 例如，教師可以將數形結合這一重要的數學解題思想，通過習題和例題的教學教給學生. 例如，面積為1的矩形中，周長的最大值是多少？已知矩形的周長為3，那么它的面積的最大值是多少？這個問題首先列出的式子就是xy=1，x+y=，僅僅看方程學生很難理解，如果將式子轉化成y=和y=-x+，就變成了熟悉的反比例函數和一次函數，再結合圖像，就比較容易理解周長的最大值和面積的最大值了.

3. 培養學生的數學模型意識

數學模型能夠反應數學發生和發展的變化規律，教師通過例題和習題的設計來培養學生的模型意識，拉近與生活的距離. 尤其是一些應用題，它的解題過程就是一個構建數學模型的過程. 例如，有一家商店，把皮包的成本提高40%以后又以八折的優惠進行出售，最終每件可以獲利15元，那么這個皮包的成本價是多少元錢？模型如圖1.

4. 變通內容，靈活運用例題

數學題目浩如煙海，但是萬變不離其宗，靈活把握解題方式，通過練習題發現其中的內在聯系，從而達到舉一反三的解題效果. 例如，學習了勾股定理以后，讓學生考慮三個半圓的面積關系，三個正方形的面積關系和三個正三角形的面積關系等問題.