加強(qiáng)對典型題目的總結(jié)與提煉

姚友琴

【關(guān)鍵詞】典型題目 提煉 數(shù)學(xué)方法 解題技巧

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）07A-

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初中數(shù)學(xué)思想方法相對于具體知識(shí)內(nèi)容來說屬于一個(gè)較為高階的要求。如果說具體的知識(shí)內(nèi)容讓學(xué)生們學(xué)會(huì)了怎樣解決一個(gè)問題，那么數(shù)學(xué)思想方法則讓他們學(xué)會(huì)了怎樣解決一類問題。思想方法是在總結(jié)眾多具體數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得出的，是高度提煉與升華的結(jié)果。因此，為了實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的完整與高效，教師應(yīng)加強(qiáng)對于典型題目的總結(jié)提煉，讓學(xué)生在理解知識(shí)的同時(shí)掌握方法。

一、通過宏觀入手，掌握整體分析法

整體分析法是解答較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題的重要方法。正如它的名字一樣，其在所有思想方法中也處于一個(gè)整體性的位置。筆者常常告訴學(xué)生：想要駕馭數(shù)學(xué)問題，就要學(xué)會(huì)敢于站在高處去審視它。這里所強(qiáng)調(diào)的“審視”，指的就是面對問題，不要急于求解，而是先要從整體角度對它所涉及的知識(shí)內(nèi)容與邏輯方向進(jìn)行分析，有了宏觀把握后再有的放矢地展開解答。這樣的分析方法，往往能夠使得數(shù)學(xué)問題的解答更加準(zhǔn)確和高效。

在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)七年級下冊《因式分解》時(shí)，學(xué)生們常常會(huì)遇到將二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的問題。如將x2+4x-10因式分解。具體說來，這個(gè)因式分解的過程需要運(yùn)用配方法。但配方的大方向是如何確定的呢？這就需要從宏觀角度對這個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行整體觀察和分析，從而得出配方法的開展方向。從這個(gè)式子的前兩項(xiàng)我們很容易聯(lián)想到完全平方公式。同時(shí)，如果能夠構(gòu)造出完全平方的形態(tài)，也就出現(xiàn)了平方差公式的端倪，因式分解自然很容易進(jìn)行。這就是運(yùn)用整體分析所得出的宏觀思路。在這樣的方向指導(dǎo)下，x2+4x-10=x2+4x+4-14=（x+2）2-14=（x+2-）（x+2-）的因式分解過程也就不難得出了。

在學(xué)生們掌握了整體分析法的同時(shí)，也表明了他們面對復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時(shí)的一種冷靜、平和的心態(tài)。在處理疑難問題時(shí)，最忌諱的就是慌亂無章，這樣只會(huì)讓學(xué)生的思維更加混亂，無法找到解答問題的正確路徑。若是能夠放慢節(jié)奏，不被一個(gè)個(gè)具體的條件所影響，而是從整體角度分析問題、尋找方法，往往能夠讓學(xué)生更自信，思路的得出也更加理性。

二、調(diào)動(dòng)多種方式，掌握數(shù)形結(jié)合法

數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)也許是單一的形式，我們可以很輕松地將之歸結(jié)為代數(shù)問題或是幾何問題，但是，在解答問題時(shí)，數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用卻不一定是單一的。為了能夠順利解答問題，學(xué)生們常常需要調(diào)動(dòng)多種思維方式來輔助思考問題。無數(shù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴我們，將代數(shù)邏輯與幾何圖形有機(jī)結(jié)合在一起分析問題，常常能夠得到事半功倍的思維效果。這就是我們將要討論的數(shù)形結(jié)合方法。

在學(xué)習(xí)了數(shù)軸與正負(fù)數(shù)的知識(shí)后，筆者給出了如下圖象，并請學(xué)生們在此基礎(chǔ)上嘗試化簡|a|-|a+b|+|c-b|+|a+c|這個(gè)代數(shù)式。只看這個(gè)代數(shù)式，我們似乎可以把它歸結(jié)為代數(shù)類的問題。但看這個(gè)代數(shù)式，是無法進(jìn)行求解的。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖象來理解、切入。這個(gè)問題出現(xiàn)的形式，本身就是在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行思考。果然，在分析數(shù)軸形態(tài)后，學(xué)生們很快得出了a>0，c

在解答數(shù)學(xué)問題的過程中，代數(shù)與幾何之間的界限并不是非黑即白的。數(shù)學(xué)知識(shí)的研究，本來就是將代數(shù)內(nèi)容以幾何方式呈現(xiàn)，將幾何內(nèi)容以代數(shù)形式歸納，于二者的相互轉(zhuǎn)化之間完成理論延伸的過程。因此，從數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)開始，數(shù)形結(jié)合的思維方式就已經(jīng)滲透于學(xué)生們的頭腦中了。在解答具體問題時(shí)，這一思想方法也就自然而然地沿襲下來了。數(shù)形結(jié)合法為學(xué)生們提供了全新的思考角度，有效降低了思維難度，是初中數(shù)學(xué)問題解答中不可或缺的武器。

三、厘清思維邏輯，掌握分類討論法

進(jìn)入初中后，學(xué)生們逐漸發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)和習(xí)題的答案并不像小學(xué)那樣唯一了。很多問題的答案會(huì)出現(xiàn)多種可能性，甚至一些問題在提出時(shí)就是開放不確定的。也正是這種不確定性讓不少學(xué)生感到困惑，不知道該如何將每一種可能性準(zhǔn)確完整地把握住。面對這種情況，學(xué)生們就必須要掌握分類討論的數(shù)學(xué)方法。這是初中數(shù)學(xué)的必修課，也是有效解題的試金石。

在學(xué)習(xí)方程的知識(shí)內(nèi)容后，有這樣一道習(xí)題：請解關(guān)于x的方程2ax-5=-x。移項(xiàng)整理之后得到（2a+1）x=5，此時(shí)便出現(xiàn)了分類討論的問題。那么，如何做到準(zhǔn)確地分類呢？以本題為例，筆者先告訴學(xué)生在解方程的過程中，如果遇到字母系數(shù)，且已知條件中沒有給字母系數(shù)設(shè)定范圍時(shí)，往往就需要分類討論。另外，在確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，經(jīng)常是從使得變形式子有意義出發(fā)。若字母處于分母位置，則將分母是否為零進(jìn)行討論；若字母處于二次根號之下，則根號里的內(nèi)容不能小于零；若已知條件中有其他限定，則還需要滿足題目要求……這樣，學(xué)生們對于分類討論應(yīng)適時(shí)開展、怎樣開展的理解清晰了很多。具體至這個(gè)問題，學(xué)生們很輕松地就2a+1是否為零進(jìn)行分類討論，并得出了正確答案。

在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)分類討論方法之前，學(xué)生們面對存在多種可能性的數(shù)學(xué)問題時(shí)的思維經(jīng)常是混亂的。分類討論方法的出現(xiàn)，并不是針對某一個(gè)問題的解答，而是給了學(xué)生們一個(gè)厘清思維邏輯的方向和標(biāo)準(zhǔn)。掌握了這一方法，無論面對多么復(fù)雜的情況，學(xué)生們都可以找到科學(xué)分類的界限，保證自己的討論既能夠涵蓋所有可能性，又不會(huì)在各個(gè)小分類之間產(chǎn)生交叉。

四、立足既有知識(shí)，掌握化歸轉(zhuǎn)化方法

初中數(shù)學(xué)教材雖然出現(xiàn)了很多新知識(shí)和新方法，但知識(shí)內(nèi)容的數(shù)量畢竟是有限的，學(xué)生們不可能在初中階段就掌握所有的數(shù)學(xué)知識(shí)。然而，這并不代表各類測試中不會(huì)出現(xiàn)大家沒有學(xué)習(xí)過的內(nèi)容。那么，如何運(yùn)用有限的知識(shí)去解決自己沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)問題呢？這就要求學(xué)生熟練地掌握化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而去解決范圍更廣的數(shù)學(xué)問題。

在學(xué)生剛剛開始接觸函數(shù)知識(shí)不久，筆者讓他們嘗試解答這樣一道題：（如圖所示）反比例函數(shù)y=-與一次函數(shù)y=-x+2的圖象相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。在遇到這個(gè)問題時(shí)，學(xué)生們還沒有開始具體學(xué)習(xí)何為反比例函數(shù)，甚至連一次函數(shù)的性質(zhì)都沒有深入理解，面對這個(gè)問題，學(xué)生們不知所措是正常的。筆者啟發(fā)道：“如何正確理解兩個(gè)函數(shù)圖象相交的含義呢？”學(xué)生們意識(shí)到，所謂相交，就是兩個(gè)圖象在該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)一致。由此，看似陌生的函數(shù)問題順利轉(zhuǎn)化成了方程問題，大家通過將兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立解方程組y

=-

y=-x+2，準(zhǔn)確得出了x1=4

y1=-2和x2=-2

y2=4這兩組解，自然也就確定了A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

學(xué)習(xí)了化歸轉(zhuǎn)化的思想方法之后，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)，原來很多看似陌生的數(shù)學(xué)問題，都可以通過巧妙地變形轉(zhuǎn)化為自己已經(jīng)掌握的知識(shí)予以解答，讓學(xué)生看到了數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容之間存在的普遍聯(lián)系。實(shí)際上，看似獨(dú)立的一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都不是孤立的，它們都是在不斷地轉(zhuǎn)化中彼此關(guān)聯(lián)的。認(rèn)識(shí)到了這一點(diǎn)，學(xué)生們也得以在日后的學(xué)習(xí)中更加理性地去看待新知識(shí)，并在不斷地新舊聯(lián)系中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的延展與深入。

初中階段的學(xué)生尚未具備過硬的數(shù)學(xué)思維基礎(chǔ)，在提煉總結(jié)方面的能力仍稍顯不足，這便需要教師從旁輔導(dǎo)。在對比較典型的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行講解時(shí)，教師一定要有意識(shí)地將運(yùn)用于該題中的思想方法提煉出來，讓學(xué)生們對之形成關(guān)注與認(rèn)知。久而久之，學(xué)生們便形成了更為成熟的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維。

（責(zé)編 林 劍）