時滯影響下MR阻尼器-斜拉索控制系統主共振分析

彭　劍， 胡　霞， 謝獻忠， 王連華

(1.湖南科技大學 土木工程學院，湖南　湘潭　411201；2.湖南大學 土木工程學院，長沙　410082)

時滯影響下MR阻尼器-斜拉索控制系統主共振分析

彭劍1， 胡霞1， 謝獻忠1， 王連華2

(1.湖南科技大學 土木工程學院，湖南湘潭411201；2.湖南大學 土木工程學院，長沙410082)

基于Hamilton變分原理，建立了考慮時滯作用下的MR阻尼器-斜拉索控制系統的非線性運動方程。采用Galerkin方法和多尺度法，從理論上推導出時滯動力系統的分岔響應，得到了該系統主共振的一階近似解及響應峰值關于時滯的解析式。進而，分析了時滯、控制增益、外激勵幅值等參數對系統主共振幅值響應的影響。結果表明，受控系統的主共振幅值存在跳躍和滯后現象，并隨著時滯量、控制反饋增益和外激勵幅值的增大而增大，且系統可能出現失穩；主共振響應的峰值與時滯正相關，當時滯達到一定值后，峰值顯著增大。

MR阻尼器；斜拉索；時滯；主共振

斜拉索作為斜拉橋的關鍵構件，具有阻尼低、質量輕及柔性等基本特點，在車輛荷載或風(雨)荷載作用下易發生大幅振動，非線性現象十分明顯。盡管對拉索的振動機理并沒有完全理解，但是基于實際需要，已經根據不同的情況提出了一系列的控制方法。目前，對采用MR阻尼器對拉索的振動進行控制已有不少研究[1-2]，但是MR阻尼器本身存在30 ms～50 ms的時滯，這主要由MR液響應時間，激勵線圈反應時間和結構時滯等組成，再加上半主動控制系統的時滯，整個控制系統的時滯量可達到近1 s[3]，而這與斜拉索的基頻處于同一個量級，極易引起受控系統失穩[4]。因此深入探究時滯影響下該系統的非線性動力學有利于提高控制質量，改善控制系統性能。

值得一提的是，結構大幅振動控制中的時滯問題已引起了學者們的關注。已有研究分別從時滯受控系統的穩定性，時滯補償等方面進行了探討。Cha等[3]基于半主動控制策略，開展了時滯影響下200 kN的MR阻尼器的魯棒性研究。Ying等[5]研究了時滯影響下半主動受控斜拉索的參數激勵的穩定性。Abdel-Rohman等[6]研究了風雨激勵作用下懸索橋半主動控制中的時滯問題，并對比了兩種時滯補償方法。彭劍等[7]對MR阻尼器-拉索控制系統中的時滯影響下的系統穩定性進行了研究。宋攀等[8]研究了復雜柔性耦合主動隔振系統中的時滯主動控制問題，結果表明主動控制中有必要考慮時滯因素以避免失穩。申永軍等[9]對含有時滯的單自由度半主動開關控制懸架系統進行了研究，發現系統的穩定性隨著時滯會發生周期性變化。

因此，為了滿足實際工程需要，必須深入研究時滯作用下的MR阻尼器-拉索系統。本文基于建立的時滯微分方程，利用Galerkin方法和多尺度法求得主共振的一階近似解，分析了一些重要參數對主共振幅頻響應的影響。

1MR阻尼器-斜拉索系統時滯微分方程

由于拉索的垂度非常小，因此拉索沿弦長方向的振動可以忽略不計。假設沿索長方向的截面積保持不變，索始終保持在彈性變形范圍內。如圖1所示的MR阻尼器-拉索系統。固定端標記為A,B，磁流變阻尼器安裝位置標記為C。以固定端A為坐標原點，兩端點連線方向為x軸，垂線方向為y軸，建立直角坐標系。利用Hamilton變分原理可得到忽略彎曲、扭轉以及剪切的MR阻尼器—拉索系統的面內非線性運動方程為[10-11]：

f(x,t)+Fdδ(x-xd)

(1)

v(0,t)=v(L,t)=0

(2)

圖1　MR阻尼器-拉索系統的理論模型Fig.1 Theoretical model of MR damper-stay cable system

由于拉索的垂度很小，因此，初始斜拉索的靜態構形y可近似表示為[10]:

(3)

式中：θ為拉索的傾角?；谏厦娴募僭O，可得到斜拉索的無量綱非線性運動方程：

(4)

其中利用了下面的無量綱變量：

x*=x/L,y*=y/L,v*=v/L,α=EA/H,

此外，為了書寫方便，運動方程式(4)中的星號已經去掉。

考慮控制時滯τ，則時滯作用下的MR阻尼器-拉索系統運動方程為：

(5)

運用Galerkin方法對其位移函數v(x,t)進行展開：

(6)

(6)

其中運動方程中利用了模態阻尼，μn為模態阻尼系數，ωn為第n階面內模態的固有頻率，此外：

有關收斂性已有驗證[13]，同時Zhou等[14]提供了很好的解決收斂性和計算效率的問題的方法。在本文中僅研究單模態非線性響應，且計算阻尼系數時只取第一階近似，即：

(8)

2主共振解

本節求解該系統單模態非線性振動的主共振解，采用多尺度法，設方程(8)的攝動解形式為：

qn(t)=qn0(T0,T1,T2)+εqn1(T0,T1,T2)+

ε2qn2(T0,T1,T2)+O(ε2),Tj=εjt,j=0,1,2

(9)

在主共振情況下，調整阻尼項、非線性項及外激勵項的系數，即：

μn=O(ε2),Λnnn=O(ε),Γnnnn=O(ε2),kn=O(ε2),

fn=O(ε2),Ω=ωn+ε2σ,σ=O(1)

其中0<ε?1，σ為調諧參數。使用微分算子：

(10)

將方程(9)和方程(10)代入方程(8)，比較方程兩邊的系數，得到如下微分方程組：

(11)

(12)

knD0qn0(T0-τ,T1,T2)+fncos(T0+σT2)

(13)

方程(11)的解可寫為：

(14)

式中：i表示虛數單位，An(T1)為關于T1的復函數。將方程(14)代入方程(12)可得：

(15)

式中：cc表示前面幾項的復共軛。在方程(15)中消去使qn1產生久期項的那些項，得到D1An=0或An=An(T2)。因而方程(15)的解記為：

(16)

將方程(14)和方程(16)代入方程(13)，可得：

(17)

在方程(17)中消去使得qn2產生久期項的那些項，則有：

-i(2D2+μn+kneiτ)An+

(18)

(19)

式中：φn(T2)=σnT2-βn(T2)。當an0′=γn0′=0時存在穩態運動，這對應著方程(19)的奇點，亦即對應方程組：

(20)

的解。將上述兩個方程平方相加，可得到主共振的幅頻響應方程及相位角方程：

(21)

因此，主共振的穩態一階近似解可以表示為：

qn(t)=ancos(Ωt-φn)+O(ε)

(22)

同時，易知響應幅值是關于調諧參數，反饋增益，時滯以及外激勵幅值的函數。根據方程(21)可得主共振最大幅值的表達式為ap=fn/(μn+kncosτ)。

3穩定性分析

下面通過研究方程(19)的奇點的性狀來確定穩態運動的穩定性，設：

an=an0+an1,γn=γn0+γn1

(23)

將方程(23)代入方程(19)，注意到an0,γn0滿足方程(20)，保留到an1,γn1的線性項，得到：

(24)

方程(24)的特征方程如下：

(25)

根據方程(20)，方程(25)可以簡化為：

(26)

其中：

4算例分析

本節以岳陽洞庭湖大橋A12斜拉索作為研究對象進行算例分析。其幾何參數和物理參數分別為：索長L=121.9 m；橫截面積A=6 273×10-6m2；初始張力H=3 150 kN；彈性模量E=2.0×1011Pa；傾斜角θ=35.2°；單位長度質量m=51.8 kg/m；阻尼μ1=0.012 6；重力加速度g=9.81 m/s2，等效阻尼系數k1=15，阻尼器位置取距離下錨固端2%位置。

圖2　時滯作用下主共振的幅頻響應曲線Fig.2 The amplitude-frequency curve of the primary resonance response with time delay

圖3　控制增益作用下主共振的幅頻響應曲線Fig.3 The amplitude-frequency curve of the primary resonance response with control feedback gain

下面將分別分析時滯、控制增益和外激勵幅值對第一階模態(n=1)主共振幅頻響應的影響，圖中實線和虛線分別表示穩定和不穩定幅值。圖2～圖5是基于打靶法和延拓方法得到的主共振的幅頻響應曲線圖。圖2和圖3中選取外激勵的幅值f=0.005，給出了不同時滯值和控制增益作用下主共振的幅頻響應曲線。從圖中可以看出，隨著時滯值和控制增益的增大，振幅增大，而其主共振區域和振動骨架無明顯變化。同時發現，不同的時滯值對應的幅頻曲線均存在多值區域和跳躍現象。值得指出的是，隨著時滯值得增大，其值越來越接近系統的固有頻率，可能發生共振，從而導致非線性響應增強。

圖4　時滯作用下主共振的振幅-激勵幅值曲線Fig.4 The response-excitation amplitude curve of the primary resonance with time delay

圖4給出了不同時滯值和調諧參數時系統第一階模態的振動響應。注意到，隨著調諧參數σ值得不同，有些曲線是多值的，有些曲線是單值的。并且不穩定值僅出現在多值曲線上。隨著時滯值的增加，系統響應幅值相應增大，而與幅值曲線不同的是，振動曲線的響應較弱。

圖5　時滯作用下主共振的響應幅值峰值曲線Fig.5 The curves of the peak amplitude of the primary resonance response with time delay

圖5給出的是主共振的響應幅值的峰值與時滯之間的關系圖。從圖中可以得出，隨著時滯值的增大，其峰值逐漸增大，并且當時滯值處于一定范圍內，對主共振響應的幅值的峰值影響不大，但當達到或大于某一值時，其峰值增幅得到顯著提高。圖6則通過系統響應的時程曲線給出了不同時滯作用下響應的明顯變化。當時滯值增大時，系統的響應明顯增大。

圖6　不同時滯值時主共振的響應時間歷程圖Fig.6 The time history curves of the primary resonance response with time delay

5結論

本文針對MR阻尼器-斜拉索系統，基于多尺度法對時滯影響下該系統的主共振響應進行了解析研究，得到了系統的一階近似解，與數值解吻合較好，并對其主共振幅頻響應進行參數分析。結果表明：

(1) 主共振幅頻響應受時滯因素影響較大，其振幅隨時滯值、控制反饋增益和外激勵幅值增大而增大，存在多值區域和跳躍現象。因此，必須控制該系統中時滯量的取值范圍，以避免較大的時滯值導致系統響應的顯著增大及系統失穩。

(2) 調節該系統中時滯量，可以達到消除或改變系統發生Hopf分岔。

(3) 主共振響應的峰值與時滯正相關，當時滯超過臨界值后，峰值顯著增大。

(4) 控制增益對振幅也存在較大影響，在對具體系統進行控制設計時，可選取合適的時滯值和控制增益達到較優的控制效果。

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Primary resonance of MR damper-stay cable control systems with time delay

PENG Jian1, HU Xia1, XIE Xian-zhong1, WANG Lian-hua2

(1. School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China;2. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Based on Hamilton principle, nonlinear motion equations of MR damper-stay cable systems with time delay were obtained. The bifurcation responses of this type system were derived with Galerkin method and the method of multiple scale. The approximate expressions of the primary resonance and the peak of the response amplitude versus time delay were deduced. To illustrate the characteristics of the primary resonance, the effects of major parameters, such as, time delay, control gains and external excitation on the system response were studied. The numerical results showed that the frequency-response curves of the controlled system have jump and hysteresis phenomena, and the response amplitude increases with increase in time delay, control feedback gain and external excitation amplitude; a positive correlation between the peak amplitude of the primary resonance response and time delay is observed, and when time delay reaches a certain value, the peak significantly increases.

MR damper; stay cable; time delay; primary resonance

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.029

國家重點基礎研究發展計劃(973計劃)(2015CB057702);國家自然科學基金項目(11402085;11272119)；湖南省教育廳項目(14C0464;12A052)

2014-04-04修改稿收到日期：2015-01-30

彭劍 男，博士，講師，1982年11月生

O322

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