兩級定軸齒輪斷齒故障的非線性耦合特性研究

王　鑫， 徐玉秀， 武寶林， 李濤濤

(1.天津工業大學 機械工程學院,天津　300387； 2.現代機電裝備技術重點實驗室,天津　300387；3.三一重型能源裝備有限公司,北京　102206)

兩級定軸齒輪斷齒故障的非線性耦合特性研究

王鑫1,2， 徐玉秀1,2， 武寶林1， 李濤濤3

(1.天津工業大學 機械工程學院,天津300387； 2.現代機電裝備技術重點實驗室,天津300387；3.三一重型能源裝備有限公司,北京102206)

為研究兩級齒輪傳動系統斷齒故障的非線性耦合特性，建立了包含時變嚙合剛度、齒側間隙和綜合嚙合誤差等非線性因素的單級及兩級齒輪量綱一動力學方程。利用數值方法對建立的非線性微分方程進行求解，獲得系統的分岔圖、相圖及Poincaré截面，對比研究兩系統中一級齒輪隨激勵頻率變化的分岔特性及斷齒故障下的故障特性。研究結果表明：耦合特性使兩級齒輪系統的周期運動區間增加，幅值亦增加，混沌區間縮短并延遲，對混沌起到抑制作用；斷齒故障使單級齒輪系統突跳點增加，同時陣發周期運動出現變化，且變化趨勢不確定，對于兩級齒輪系統僅使陣發周期運動幅值增加。

齒輪傳動；非線性耦合動力學；混沌；分岔；故障

齒側間隙可使齒輪系統的動力學行為成為非線性狀態。對于含兩個齒側間隙的兩級齒輪系統的動力學狀態將產生非線性耦合，會使系統的混沌運動狀態發生改變[1-2]。當上述系統有故障時，就會引起故障激勵與齒側間隙的非線性狀態的復雜耦合，使系統的復雜動力學狀態難以確定，對此故障也難以識別。只有準確建立多間隙的非線性耦合模型、故障與多間隙的非線性耦合模型，分析出各耦合關系和影響特性，才能找出齒輪系統在故障狀態下的非線性耦合特性，把握故障對耦合特性的影響。

對于齒輪故障特性的研究，馬銳等[5-7]分析了含齒側間隙的單級齒輪分別在斷齒故障、裂紋故障及局部剝落故障情況下的非線性動力學特性。王彥剛等[8-9]研究了含齒側間隙的單級齒輪分別在單齒沖擊、單齒剛度(斷齒故障)、單齒及全齒磨損故障狀態下的分岔特性，提出可以通過齒輪振子檢測齒輪斷齒程度。Wang等[10]發現，齒面摩擦會使含間隙單級齒輪系統的倍周期分岔、準周期分岔及混沌運動發生延遲。

上述文獻主要研究含間隙單級齒輪系統的故障特性及間隙、負載等參數對耦合系統的影響，沒有進行故障與多間隙的非線性耦合研究。本文從非線性動力學角度，分別建立考慮時變嚙合剛度、齒側間隙和綜合嚙合誤差等非線性因素的單級及兩級定軸齒輪傳動系統的量綱一動力學方程，對比兩個系統的分岔特性及耦合特性，分別分析斷齒故障對兩個系統的耦合非線性影響，找到非線性系統的故障特性，以便進行有效的故障識別。

1　兩級定軸齒輪系統扭轉動力學模型

圖1為兩級定軸齒輪減速器系統扭轉動力學模型，所有齒輪均為直齒圓柱齒輪。該模型不考慮各齒輪之間的橫向振動位移，并假設系統各構件為剛體，齒輪嚙合參數用彈簧和阻尼器進行模擬，忽略齒面嚙合摩擦力的影響。當系統僅有齒輪1，2時為單級齒輪動力學模型。

圖1　兩級定軸齒輪扭轉動力學模型Fig.1 Torsional dynamic model of two-stage gear

圖1中θi(i=1，2，3，4)為各齒輪的扭轉位移，C1、C2、K1(t)、K2(t)為齒輪嚙合副的等效阻尼和時變嚙合剛度，e1(t)、e2(t)為齒輪副綜合嚙合誤差，T1、T4為輸入扭矩、負載扭矩。

2　系統的運動微分方程

2.1兩級齒輪運動微分方程

在考慮齒側間隙、時變嚙合剛度、綜合嚙合誤差的基礎上，根據拉格朗日方程建立圖1所示系統的運動微分方程：

(1)

Ji(i=1，2，3，4)為軸上各齒輪的轉動慣量；ri(i=1，2，3，4)為各齒輪的基圓半徑；

f(xi)(i=1，2)為齒側間隙非線性函數，定義為：

(2)

式中：bi(i=1，2)為齒側間隙的一半。

在不考慮齒輪傳動效率的情況下，系統力矩平衡時齒輪的靜態嚙合力為

(3)

則負載扭矩與輸入扭矩的關系為

(4)

齒輪副的時變嚙合剛度Ki(t)可表示為

Ki(t)=Kmi+Kaisin(wmit+φi)

(5)

式中：Kmi為第i級齒輪副平均嚙合剛度，Kai為第i級齒輪副嚙合剛度變化幅值，wmi為第i級齒輪副嚙合頻率，φi為第i級齒輪副嚙合剛度變化幅值的初始相位。

阻尼系數表達式為

(6)

式中：ξ1、ξ2分別為一、二級齒輪副的阻尼比；mi(i=1，2，3)為第i個齒輪的質量。

齒輪副的綜合嚙合誤差采用嚙合函數的一次諧波形式，即

ei(t)=eaisin(wmit+φi)

(7)

對方程(1)化簡，得

(8)

式中：me1、me2、me3為齒輪的等效質量，且

對方程(8)進行歸一化處理，得系統量綱一運動微分方程組：

(9)

式中：Ωi=wmi/wh1，i=1，2為量綱一激勵頻率；

量綱一時變嚙合剛度為

Ki(τ)=1+εisin(Ωiτ+φi)

(10)

其中εi=Kai/Kmi，i=1，2。

2.2單級齒輪運動微分方程

回屋的路上，大梁說，我把事情原原本本都跟慢成講了，他說二丫看到的那個東洋人，應該可以肯定是狼剩兒。他們查到，從二十一年開始，東洋人就假裝看風水、貨郎擔，到湖北來找礦。除了鐵冶，大冶、陽新、荊門、宜昌，都有。東洋人順帶拐走狼剩兒，養大了又讓他當兵，這完全有可能。

單級齒輪運動微分方程為第一級齒輪運動微分方程，其推導公式與兩級齒輪相同，量綱一運動微分方程為

(11)

2.3剛度故障函數的建立準則

當齒輪存在單齒局部斷齒故障(如圖2所示，單齒齒寬減少40%)時，在其斷齒處剛度會減弱，而其他齒處剛度不變。依據GB/T3480-1997漸開線圓柱齒輪承載能力計算方法中平均嚙合剛度的計算公式[11]

Kmi=Crh

(12)

式中Cr是端面內輪齒總剛度的平均值，h為齒寬，取Cr=20 N/(mm·μm)，h=15 mm。

圖2　定軸齒輪斷齒故障Fig.2 Spur gear with chipping fault

由式(12)可知，齒寬與平均嚙合剛度成正比。單齒發生斷齒故障時，其齒寬變小，導致單齒平均嚙合剛度變小。式(10)中正常狀態下量綱一平均嚙合剛度為1，故用aδ(τ)表示斷齒故障。δ(τ)為幅值為1的周期脈沖函數，周期為齒輪旋轉一周的時間，脈沖寬比為1∶N(N為齒輪齒數)；a為斷齒程度，由于受到剛度波動影響，取值范圍[0，0.8)， 圖2所示故障取a=0.4。將故障函數添加到式(10)，即得到量綱一時變嚙合剛度故障函數[8,12]

Ki(τ)=1+εisin(Ωiτ+φi)-aδ(τ)

(13)

3　非線性系統耦合特性分析

3.1單級與兩級齒輪耦合特性分析

為研究兩級齒輪系統的耦合特性，將其與單級齒輪的非線性特性進行對比，考察第二級齒輪對第一級齒輪分岔及混沌特性的影響。分別計算圖1所示單級及兩級齒輪的非線性動力學響應。其中兩級定軸齒輪傳動系統的結構參數如表1、2，壓力角α=20°，T1=6.5 N·m。表2中的取值在兩對齒輪的嚙合線上相等，故省略下標i。

表1　各齒輪的參數

表2　計算參數

采用變步長Runge-Kutta法對非線性微分方程組(9)、(11)進行數值求解，對比正常情況下單級齒輪及兩級齒輪系統中第一級齒輪的位移分岔圖，觀察第二級齒輪對第一級齒輪的影響。

圖3　單級齒輪位移分岔圖Fig.3 Displacement bifurcation diagram ofthe single gear pair

圖4　兩級齒輪系統中第一級齒輪位移分岔圖Fig.4 Displacement bifurcation diagram of the first gear in two-stage gear

上述分析可見，相比于單級齒輪系統，兩級齒輪系統周期運動區間增加且幅值增加；混沌區間縮短并延遲，陣發周期運動受到抑制，失穩減少。

對于兩級齒輪系統，由于一級齒輪信號中含有二級齒輪的振動特性，使得周期運動幅值增加；當一對齒輪發生脫齒，另一對齒輪處于接觸狀態時，耦合特性減少了混沌齒輪出現的脫齒碰撞現象，進而減少并延遲了混沌運動，起到抑制混沌的作用。

3.2斷齒故障特性分析

設第一級齒輪有斷齒故障，將故障激勵函數式(13)分別代入式(9)的一級齒輪及式(11)中，計算其分岔圖。經計算發現，單級齒輪及兩級齒輪在故障狀態下的分岔圖(圖5，6)分別與無故障(圖3，4)時基本一致。

圖5　單級齒輪故障狀態下分岔圖Fig.5 Displacement bifurcation diagram of the single gear pair under chipping fault

圖6　兩級齒輪系統中第一級齒輪故障狀態下位移分岔圖Fig.6 Displacement bifurcation diagram of the first gear in two-stage gear under chipping fault

由圖5和圖3比較可見，單級齒輪在激勵頻率較低時Ω1=0.2～0.3時，由于故障的增加，平穩的周期運動變成波動形式，這種波動在Ω1=0.38處變成突跳，增加了突跳點，之后進入平穩周期運動。其分岔點與混沌區間不變，陣發周期運動區間的混沌運動有所減少。

由圖6和圖4比較可見，兩級齒輪系統在激勵頻率較低時沒有出現波動，因此沒有增加突跳點，在陣發周期運動Ω1=1.7及1.874處幅值增加。對此，需要對兩系統出現變化的各激勵頻率位置進行研究。

3.2.1單級齒輪正常與故障特性對比

單級齒輪系統在Ω1=0.38時隨斷齒程度a變化的位移分岔圖如圖7(a)所示。正常狀態下其運動狀態為周期運動，當a=0.4時出現跳躍，之后在a=0.6時變為混沌運動，最終回歸周期運動。正常狀態下(即a=0時)系統相圖及Poincaré截面如圖7(b)，此時相圖為一錐形圓環，Poincaré截面為一個點。隨斷齒程度增加，當a=0.7時，系統處于混沌運動，如圖7(c)，錐形圓環環帶變寬且不重合，Poincaré截面分散呈不規則狀。

圖7　Ω1=0.38時正常與故障狀態下單級齒輪系統相圖Poincaré截面Fig.7 System phase contrail and Poincaré section of the single gear pair in states of normal and stiffness fault at Ω1=0.38

由圖5可知，發生故障時陣發周期運動區間的混沌運動出現變化，在此取兩個陣發周期運動中的臨近激勵頻率Ω1=1.466、Ω1=1.47做分岔分析。當Ω1=1.466時，系統隨斷齒程度a的位移分岔圖如圖8(a)所示。正常狀態下為混沌運動如圖8(b)，Poincaré截面為無規則點團；隨故障增加，由混沌運動變為3周期運動，如圖8(c)， Poincaré截面為3點團；故障繼續增加，系統又變為混沌運動，如圖8(d)，Poincaré截面為不規則點團。與其相鄰的激勵頻率Ω1=1.47則表現出不同的運動狀態變化。隨故障增加由3周期運動變為陣發周期運動再變為3周期運動，如圖9所示。在如此臨近的兩激勵頻率下，各自的運動狀態變化卻出現了不同，這是由于陣發周期運動本就變化不定，故障的增加使得每一激勵頻率的變化趨勢都變得不確定。

圖8　Ω1=1.466時正常與故障狀態下單級齒輪系統分岔圖、相圖及Poincaré截面Fig.8 System bifurcation diagram, phase contrail and Poincaré section of the single gear pair in states of normal and stiffness fault at Ω1=1.466

圖9　Ω1=1.47時正常與故障狀態下單級齒輪系統分岔圖、相圖及Poincaré截面Fig.9 System bifurcation diagram, phase contrail and Poincaré section of the single gear pair in states of normal and stiffness fault at Ω1=1.47

圖10　Ω1=1.874時正常與故障狀態下兩級齒輪系統中一級齒輪的分岔圖、相圖及Poincaré截面Fig.10 System bifurcation diagram, phase contrail and Poincaré section of the first gear in two-stage gear in states of normal and stiffness fault at Ω1=1.874

3.2.2兩級齒輪系統正常與故障特性對比

由3.2中的圖6可知，兩級齒輪系統發生斷齒故障時，在Ω1=1.7及1.874這兩處的變化規律相同，在此僅給出兩級齒輪系統中一級齒輪在Ω1=1.874時的位移分岔圖，如圖10(a)。正常狀態下系統處于擬周期運動，如圖10(b)，相圖為圓形環帶，Poincaré截面為封閉環；當故障增加時，系統出現陣發周期運動，如a=0.4時系統為混沌運動，如圖10(c)，此時相圖為不規則曲線，Poincaré截面呈不規則點團。與單級齒輪相比，兩級齒輪系統受故障影響較小，這是由于耦合特性抑制混沌的同時也抑制了故障特性。

4　結　論

(1) 對于兩級齒輪系統，由于一級齒輪信號中含有二級齒輪的振動特征，使其周期運動幅值增加。

(2) 耦合特性使兩級齒輪系統的周期運動區間增加，混沌區間縮短并延遲，陣發周期運動被抑制，失穩減少。

(3) 斷齒故障使單級齒輪系統激勵頻率較低時變得不穩定，增加了突跳點，陣發周期運動出現變化，且變化趨勢不確定。而對于兩級齒輪系統由于耦合特性的抑制作用，斷齒故障僅使陣發周期運動幅值增加。

[1] 林騰蛟，王丹華，冉雄濤，等. 多級齒輪傳動系統耦合非線性振動特性分析[J]. 振動與沖擊，2013, 32(17): 1-7.

LIN Teng-jiao, WANG Dan-hua, RAN Xiong-tao, et al. Coupled nonlinear vibration analysis of a multi-stage gear transmission system [J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(16): 37-43.

[2] 李晟，吳慶鳴，張志強，等. 兩級行星輪系分岔與混沌特性研究[J]. 中國機械工程，2014, 25(7): 931-937.

LI Sheng, WU Qing-ming, ZHANG Zhi-qiang, et al. Bifurcation and chaos characteristics of two-stage planetary gear train sets [J]. China Mechanical Engineering, 2014, 25(7): 931-937.

[3] 朱才朝, 黃澤好, 唐倩, 等. 風力發電齒輪箱系統耦合非線性動態特性的研究[J]. 機械工程學報, 2005, 41(8): 203-207.

ZHU Cai-chao, HUANG Ze-hao, TANG Qian, et al. Analysis of nonlinear coupling dynamic characteristic of gearbox system about wind-driven generator [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2005, 41(8): 203-207.

[5] 馬銳, 陳予恕. 齒輪傳動系統斷齒故障的機理研究[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(21): 47-51.

MA Rui, CHEN Yu-shu. Fault mechanism of a gear system with tooth broken[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(21): 47-51.

[6] 馬銳，陳予恕. 含裂紋故障齒輪系統的非線性動力學研究[J]. 機械工程學報，2011, 47(21): 84-90.

MA Rui, CHEN Yu-shu. Nonlinear dynamic research on gear system with cracked failure [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(21): 84-90.

[7] Ma R, Chen Y S, Cao Q J. Research on dynamics and fault mechanism of spur gear pair with spalling defect [J]. Journal of Sound and Vibration, 2012, 331: 2097-2109.

[8] 王彥剛，鄭海起，楊通強，等. 故障參數下齒輪系統非線性動力學行為[J]. 振動、測試與診斷，2011, 31(5): 570-574.

WANG Yan-gang, ZHENG Hai-qi, YANG Tong-qiang, et al. Nonlinear dynamics behavior of gear system with fault parameters [J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2011, 31(5): 570-574.

[9] 王彥剛，鄭海起，楊通強,等. 非線性齒輪系統單齒故障動力學特性[J]. 振動、測試與診斷，2010, 30(6): 654-656.

WANG Yan-gang, ZHENG Hai-qi, YANG Tong-qiang, et al. Non-linear dynamic characteristics of gear system with single-tooth fault [J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2010, 30(6): 654-656.

[10] Wang J, Zheng J H, Yang A B. An analytical study of bifurcation and chaos in a spur gear pair with sliding friction [J]. Procedia Engineering, 2012, 31: 563-570.

[11] 秦大同, 邢子坤, 王建宏. 基于動力學和可靠性的風力發電齒輪傳動系統參數優化設計[J]. 機械工程學報, 2008, 44(7): 24-31.

QIN Da-tong, XING Zi-kun, WANG Jian-hong. Optimization design of system parameters of the gear transmission of wind turbine based on dynamics and reliability [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2008, 44(7):24-31.

[12] 申永軍, 楊紹普. 齒輪系統的非線性動力學與故障診斷[M]. 北京: 科學出版社, 2014.

Coupled nonlinear characteristic of a two-stage gear system with chipping fault

WANG Xin1,2, XU Yu-xiu1,2, WU Bao-lin1, LI Tao-tao3

(1. School of Mechanical Engineering, Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300387, China;2. Key Laboratory of Advanced Mechatronics Equipment Technology, Tianjin 300387, China;3. Sany Heavy Energy Machinery Co., Ltd, Beijing 102206, China)

In order to investigate the coupled nonlinear characteristic of a two-stage gear system with chipping fault, nonlinear dynamic dimensionless equations of a single gear pair and a two-stage gear system with time varying meshing stiffness, errors of transmission and backlashes were established and solved with the numerical method. The bifurcation and chipping fault properties of the 1st gear pair in both systems were analyzed by using bifurcation diagram, phase contrail and Poincaré section with increase in excitation frequency. The results showed that the two-stage gear system periodic motion interval and its amplitude increase and its chaotic interval shortens and delays due to coupling characteristics, they have a suppressing effect on chaos; the tooth chipping failure makes increase in critical points and changes intermittent periodic movements into uncertain ones for the single stage gear system, and makes increase in intermittent periodic motion amplitude for the two-stage gear system.

gear transmission; nonlinearly coupled dynamics; chaos; bifurcation; fault

10.13465/j.cnki.jvs.2016.13.020

國家重大科技成果轉化項目(2060403)；天津市自然科學基金項目(10JCZDJC23400;13JCQNJC07000)

2015-04-09修改稿收到日期：2015-07-17

王鑫 女，博士生，1985年5月生

武寶林 男，教授，博士生導師，1962年10月生

TH132.41

A